function testo = teoria(argomento)
% TEORIA Raccolta di domande e risposte per Calcolo Scientifico.
% teoria                 elenco argomenti
% teoria('Newton')       risposte sul tema
% teoria('tutto')        raccolta completa
% testo=teoria('Newton') restituisce il testo senza stamparlo
% teoria('fonti')        provenienza e limiti della raccolta

nomi={'Errori';'Floating point';'Precisione';'Cancellazione';'Convergenza';'Bisezione';'Newton';'Secanti';'Arresto';'Punto fisso';'Newton sistemi';'Applicazioni';'Condizionamento';'Triangolari';'Gauss';'LU';'Cholesky';'Iterativi';'Gradiente';'Gradiente coniugato';'Sistemi minimi quadrati';'QR';'Minimi quadrati';'Lagrange';'Baricentrica';'Interpolazione a tratti';'Spline';'Derivazione';'Errore derivazione';'Quadratura';'Formule semplici';'Quadratura composita';'Cauchy';'Eulero esplicito';'Eulero implicito';'Crank Nicolson';'Heun';'Consistenza';'Stabilita';'Stiff';'Adattivita';'Runge Kutta';'Multistep';'Esame Eulero';'Esame condizionamento';'Esame Lagrange';'Esame LU';'Esame Simpson';'Esame Newton secanti';'Esame sistemi';'Sottodomande';'17 gennaio 2023 D1';'17 gennaio 2023 D2';'14 aprile 2023 D1';'14 aprile 2023 D2';'19 luglio 2023 D1';'19 luglio 2023 D2';'12 luglio 2024 D1';'12 luglio 2024 D2';'11 settembre 2025 D1';'11 settembre 2025 D2';'Costo fattorizzazioni';'BiCGStab';'Punto fisso vettoriale';'Simpson adattivo';'Consistenza contro stabilita';'Ordine sperimentale';'Arrotondamento e ordine';'Stabilita sistemi';'Oscillazioni conservative';'AB3';'RK stadi e passi';'Bisezione iterazioni';'LU riutilizzo';'Errore interpolazione e coefficienti';'Regolarita interpolazione';'Newton inizializzazione';'CG errore';'Scelta passo';'Riduzione ordine'};
nomi{81,1}='Chebyshev';
nomi{82,1}='Unicita Lagrange';
nomi{83,1}='Spline condizioni';
nomi{84,1}='Derivazione formule';
nomi{85,1}='Quadratura costruzione';
nomi{86,1}='Simpson derivazione';
nomi{87,1}='Stabilita assoluta';
nomi{88,1}='Funzioni stabilita';
nomi{89,1}='Zero stabilita';
nomi{90,1}='Multistep radici';
nomi{91,1}='Heun e Crank Nicolson';
nomi{92,1}='Adattivita passo';
nomi{93,1}='QR costruzione';
nomi{94,1}='Definita positivita';
nomi{95,1}='Perturbazioni e residuo';
contenuti=cell(size(nomi));
% Testi conservati come commenti: apostrofi e formule non sono codice.
righe = regexp(fileread([mfilename('fullpath') '.m']), '\r\n|\n|\r', 'split');
sezione = 0;
for ir = 1:numel(righe)
    riga = righe{ir};
    if strncmp(riga, '%@TOPIC ', 8)
        sezione = sscanf(riga(9:end), '%d', 1);
        contenuti{sezione} = '';
    elseif sezione > 0 && strncmp(riga, '%|', 2)
        contenuti{sezione} = [contenuti{sezione} riga(3:end) sprintf('\n')];
    end
end

note = sprintf('%s\n', 'RACCOLTA DI TEORIA - versione revisionata 04/11/2026','Fonte: dispensa allegata Calcolo_scientifico_dispensa_teoria_aggiornata.docx.','Le schede con data e D1/D2 provengono dalla verifica diretta dei PDF. Le tracce Esame della dispensa sono mantenute come approfondimenti.','Archivio temi.html: verificati 24 appelli/preappelli 2006-2025 e 4 PDF applicativi 2001-2005. Domande autonome: 10 nei cinque appelli 2023-2025; aggiunti quesiti teorici ricorrenti negli esercizi. Le risposte sono originali e le domande sono riformulate. Le schede raggruppano richieste equivalenti; non sono soluzioni numeriche complete degli esercizi.','Le altre domande sono integrazioni di studio ricavate dai capitoli della dispensa.','Risposte non ufficiali. Formule in notazione testuale: ^ potenza, _ indice, SUM sommatoria.');
if nargin == 0, argomento = ''; end
if isstring(argomento) && isscalar(argomento), argomento=char(argomento); end
if ~ischar(argomento), error('Usa un nome testuale.'); end
k=lower(strtrim(argomento));
k=strrep(k,'stabilità','stabilita');
k=strrep(k,'_teoria',''); k=strrep(k,'_',' ');
idx=find(strcmpi(k,nomi));
switch k
case 'simpson'
idx=[31 32 48];
case 'trapezi'
idx=[31 32];
case 'newton'
idx=[7 9 49];
case 'secanti'
idx=[8 9 49];
case 'lagrange'
idx=[24 46];
case 'chebyshev'
idx=[24 46];
case 'lu'
idx=[16 47];
case 'condizionamento'
idx=[13 45];
end
if any(strcmpi(k,{'Condizionamento','Esame condizionamento'})), idx=unique([idx(:); 52]); end
if any(strcmpi(k,{'Newton','Arresto'})), idx=unique([idx(:); 53]); end
if any(strcmpi(k,{'Lagrange','Esame Lagrange'})), idx=unique([idx(:); 54]); end
if any(strcmpi(k,{'Esame sistemi','LU'})), idx=unique([idx(:); 55]); end
if any(strcmpi(k,{'Newton','Newton sistemi'})), idx=unique([idx(:); 56]); end
if any(strcmpi(k,{'Eulero esplicito','Eulero implicito','Stabilita'})), idx=unique([idx(:); 57]); end
if any(strcmpi(k,{'Lagrange','Baricentrica'})), idx=unique([idx(:); 58]); end
if any(strcmpi(k,{'Esame Newton secanti','Newton','Secanti'})), idx=unique([idx(:); 59]); end
if any(strcmpi(k,{'Quadratura','Formule semplici','Quadratura composita','Trapezi','Punto medio'})), idx=unique([idx(:); 60]); end
if any(strcmpi(k,{'Minimi quadrati','Sistemi minimi quadrati','QR'})), idx=unique([idx(:); 61]); end
if any(strcmpi(k,{'Cholesky','Gradiente coniugato','Iterativi'})), idx=unique([idx(:); 62]); end
if any(strcmpi(k,{'Iterativi','LU','Gradiente','Gradiente coniugato'})), idx=unique([idx(:); 63]); end
if any(strcmpi(k,{'Punto fisso','Newton sistemi'})), idx=unique([idx(:); 64]); end
if any(strcmpi(k,{'Simpson','Quadratura composita'})), idx=unique([idx(:); 65]); end
if any(strcmpi(k,{'Consistenza','Stabilita'})), idx=unique([idx(:); 66]); end
if any(strcmpi(k,{'Convergenza','Runge Kutta','Cancellazione'})), idx=unique([idx(:); 67]); end
if any(strcmpi(k,{'Convergenza','Errori','Runge Kutta'})), idx=unique([idx(:); 68]); end
if any(strcmpi(k,{'Stabilita','Runge Kutta','Eulero esplicito'})), idx=unique([idx(:); 69]); end
if any(strcmpi(k,{'Stabilita','Eulero esplicito','Runge Kutta'})), idx=unique([idx(:); 70]); end
if any(strcmpi(k,{'Multistep'})), idx=unique([idx(:); 71]); end
if any(strcmpi(k,{'Runge Kutta','Multistep'})), idx=unique([idx(:); 72]); end
if any(strcmpi(k,{'Bisezione'})), idx=unique([idx(:); 73]); end
if any(strcmpi(k,{'LU','Eulero implicito'})), idx=unique([idx(:); 74]); end
if any(strcmpi(k,{'Lagrange','Baricentrica','Condizionamento'})), idx=unique([idx(:); 75]); end
if any(strcmpi(k,{'Interpolazione a tratti'})), idx=unique([idx(:); 76]); end
if any(strcmpi(k,{'Newton','Newton sistemi'})), idx=unique([idx(:); 77]); end
if any(strcmpi(k,{'Gradiente','Gradiente coniugato'})), idx=unique([idx(:); 78]); end
if any(strcmpi(k,{'Runge Kutta','Stabilita','Eulero implicito'})), idx=unique([idx(:); 79]); end
if any(strcmpi(k,{'Cauchy','Stabilita'})), idx=unique([idx(:); 80]); end
if any(strcmpi(k,{'Lagrange','Chebyshev'})), idx=unique([idx(:); 81]); end
if any(strcmpi(k,{'Lagrange','Unicita Lagrange'})), idx=unique([idx(:); 82]); end
if any(strcmpi(k,{'Spline','Spline condizioni'})), idx=unique([idx(:); 83]); end
if any(strcmpi(k,{'Derivazione','Errore derivazione','Derivazione formule'})), idx=unique([idx(:); 84]); end
if any(strcmpi(k,{'Quadratura','Formule semplici','Quadratura composita','Quadratura costruzione'})), idx=unique([idx(:); 85]); end
if any(strcmpi(k,{'Simpson','Simpson derivazione'})), idx=unique([idx(:); 86]); end
if any(strcmpi(k,{'Stabilita','Stiff','Stabilita assoluta'})), idx=unique([idx(:); 87]); end
if any(strcmpi(k,{'Stabilita','Eulero esplicito','Eulero implicito','Crank Nicolson','Heun','Runge Kutta','Funzioni stabilita'})), idx=unique([idx(:); 88]); end
if any(strcmpi(k,{'Consistenza','Stabilita','Multistep','Zero stabilita'})), idx=unique([idx(:); 89]); end
if any(strcmpi(k,{'Multistep','Consistenza','Multistep radici'})), idx=unique([idx(:); 90]); end
if any(strcmpi(k,{'Heun','Crank Nicolson','Heun e Crank Nicolson'})), idx=unique([idx(:); 91]); end
if any(strcmpi(k,{'Adattivita','Stiff','Adattivita passo'})), idx=unique([idx(:); 92]); end
if any(strcmpi(k,{'QR','Minimi quadrati','QR costruzione'})), idx=unique([idx(:); 93]); end
if any(strcmpi(k,{'Cholesky','Gradiente','Gradiente coniugato','Definita positivita'})), idx=unique([idx(:); 94]); end
if any(strcmpi(k,{'Condizionamento','Perturbazioni e residuo'})), idx=unique([idx(:); 95]); end
if strcmp(k,'esami'), idx=52:80; end
if strcmp(k,'fonti')
 testo=note;
elseif strcmp(k,'tutto')
 testo=[note sprintf('\n')];
 for j=1:numel(nomi), testo=[testo sprintf('\n=== %s ===\n',nomi{j}) contenuti{j}]; end
elseif ~isempty(idx)
 testo='';
 for j=idx(:)', testo=[testo sprintf('\n=== %s ===\n',nomi{j}) contenuti{j}]; end
else
 testo=sprintf('ARGOMENTI DISPONIBILI\n');
 if ~isempty(k), testo=[sprintf('Argomento non riconosciuto: %s\n',argomento) testo]; end
 for j=1:numel(nomi), testo=[testo sprintf('  teoria(''%s'')\n',nomi{j})]; end
 testo=[testo sprintf('\nAltri comandi: teoria(''esami''), teoria(''Simpson''), teoria(''Trapezi''), teoria(''Chebyshev''), teoria(''tutto''), teoria(''fonti'').\n')];
end
if nargout==0, fprintf('%s\n',testo); clear testo; end
end

% DATI DI STUDIO - mantenere questo blocco nello stesso file.
%@TOPIC 1
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Dal problema reale al risultato numerico: definizioni, formule, ipotesi, proprieta
%|e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Un modello matematico x_(m) approssima un fenomeno reale x_(f); un algoritmo numerico produce una
%|soluzione x_(n) approssimata del modello; l’implementazione al calcolatore produce x_(c). Il
%|risultato dipende da errore di modellazione, errore di discretizzazione/troncamento e errore di
%|arrotondamento. Un algoritmo accurato non può correggere dati sbagliati o un modello inadeguato.
%|Errori assoluti e relativi
%|Dato il valore esatto x e quello approssimato tilde(x):
%|E_(a)=|x−tilde(x)|,  E_(r)=(|x−tilde(x)|)/(|x|) (x≠0).
%|Per vettori si usano le norme: E_(a)=∥x−tilde(x)∥ e E_(r)=∥x−tilde(x)∥/∥x∥ (se x≠0). Non confondere
%|l’errore con il residuo: per f(x)=0 il residuo è |f(tilde(x))|; per Ax=b è ∥b−Atilde(x)∥.
%|Risposta modello — «Quali errori si incontrano nel calcolo numerico?»
%|Il calcolo scientifico sostituisce un problema reale con un modello matematico e poi con un
%|procedimento numerico eseguibile al calcolatore. Di conseguenza la soluzione può essere alterata
%|dall’approssimazione del modello, dal troncamento introdotto dal metodo e dall’arrotondamento
%|imposto dalla precisione finita. Per quantificare il risultato si distinguono errore assoluto, che
%|misura la differenza tra valore esatto e approssimato, ed errore relativo, che rapporta la
%|differenza alla grandezza del dato. L’errore relativo non è definito per un riferimento nullo. La
%|grandezza del residuo può essere utile nel controllo dell’algoritmo, ma non coincide necessariamente
%|con l’errore sulla soluzione.
%@TOPIC 2
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Notazione posizionale, rappresentazione esponenziale, floating-point: definizioni,
%|formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|In base β un numero è una combinazione di cifre e potenze della base. Una forma normalizzata di
%|floating-point è:
%|x=(−1)^(s) m β^(e),
%|con segno s∈{0,1}, mantissa m normalizzata, base β ed esponente intero e in un intervallo finito.
%|Per un sistema normalizzato con t cifre significative in base β, si può usare la convenzione
%|1/β≤m<1. Altre convenzioni pongono 1≤m<β: cambiano i limiti per m, non la sostanza.
%|In IEEE 754 i formati binari comuni sono binary32 (32 bit, circa 7 cifre decimali significative) e
%|binary64 (64 bit, circa 15–16 cifre). Esistono valori speciali, come ±∞ e NaN, e numeri subnormali
%|per valori molto vicini a zero. Overflow: numero troppo grande per il formato; underflow: numero
%|troppo piccolo in modulo, con possibile perdita di precisione o risultato zero.
%@TOPIC 3
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Precisione di macchina e unità di arrotondamento: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Nel modello usuale di un’operazione in floating-point, in assenza di overflow/underflow e sotto
%|arrotondamento al più vicino:
%|fl(a∘b)=(a∘b)(1+δ),  |δ|≤u,
%|per ∘∈{+,−,×,÷}, se il risultato esatto è rappresentabile nel range normale; u è la unit roundoff.
%|In un formato ideale con precisione t in base β e arrotondamento al più vicino:
%|u=(1)/(2)β^(1−t).
%|Per double binario, u=2^(−53)≈1.11⋅10^(−16). In molte librerie eps indica invece la distanza tra 1 e
%|il successivo numero rappresentabile, pari a 2^(−52) per double, cioè 2u. Attenzione: precisione di
%|macchina e unità di arrotondamento possono essere definite con convenzioni diverse nei testi;
%|bisogna esplicitare quale si sta adottando.
%|Proprietà aritmetiche che possono fallire
%|L’aritmetica floating-point non è associativa:
%|fl(fl(a+b)+c)≠fl(a+fl(b+c)).
%|Può fallire anche la distributività. In generale l’ordine delle operazioni conta. Esempio
%|qualitativo: sommando numeri di scale molto diverse, i contributi piccoli possono essere assorbiti.
%@TOPIC 4
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Cancellazione numerica e propagazione: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|La sottrazione di quantità quasi uguali può causare cancellazione di cifre significative. Il
%|problema non è soltanto l’errore relativo della singola sottrazione, ma il fatto che piccoli errori
%|già presenti negli operandi diventano dominanti rispetto alla differenza.
%|Esempio classico: per x molto grande l’espressione root[2](x+1)−root[2](x) può essere riscritta
%|razionalizzando:
%|root[2](x+1)−root[2](x)=(1)/(root[2](x+1)+root[2](x)).
%|La seconda forma evita una sottrazione potenzialmente critica quando il risultato è piccolo rispetto
%|agli operandi (per esempio per x molto grande).
%|Per una funzione scalare differenziabile, perturbando x di Δx:
%|Δf=f(x+Δx)−f(x)≈f′(x)Δx.
%|Per più variabili:
%|Δf≈∑[j=1;n] (∂f)/(∂x_(j))Δx_(j).
%|Condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo
%|La sensibilità del problema è diversa dal comportamento dell’algoritmo. Per y=f(x), il
%|condizionamento relativo locale, quando definito, è:
%|κ_(f)(x)=|(xf′(x))/(f(x))|,  (|Δf|)/(|f(x)|)≈κ_(f)(x)(|Δx|)/(|x|).
%|Un problema mal condizionato amplifica le perturbazioni dei dati anche con un buon algoritmo. Un
%|algoritmo instabile amplifica inutilmente gli errori rispetto a quanto richiede il problema. Un
%|obiettivo comune è la stabilità all’indietro: il risultato calcolato sia soluzione esatta di un
%|problema vicino a quello originario. [I]
%|Risposta modello — «Spieghi il floating-point e gli errori di arrotondamento»
%|Il calcolatore rappresenta soltanto un insieme finito di numeri reali, mediante segno, mantissa ed
%|esponente. I numeri non rappresentabili vengono arrotondati, introducendo piccoli errori che possono
%|accumularsi. Il modello standard descrive una singola operazione come il risultato esatto
%|moltiplicato per un fattore 1+δ, con |δ| limitato dall’unità di arrotondamento. A causa della
%|precisione finita possono non valere associatività e distributività. Una situazione particolarmente
%|critica è la cancellazione, quando sottraiamo numeri molto vicini e perdiamo cifre significative. È
%|quindi necessario scegliere formule numericamente stabili e distinguere il condizionamento del
%|problema dalla stabilità dell’algoritmo.
%|
%|Capitolo 2 — Equazioni non lineari, metodi di punto fisso e sistemi non lineari [P: settimane 2–4]
%@TOPIC 5
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Il problema f(x)=0, radici e convergenza: definizioni, formule, ipotesi, proprieta
%|e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Dato f:[a,b]→R, si cerca una radice α tale che f(α)=0. Una radice è semplice se f′(α)≠0; è multipla
%|di molteplicità m se f(α)=⋯=f^((m−1))(α)=0, f^((m))(α)≠0 (supponendo sufficiente regolarità).
%|L’errore è e_(k)=x_(k)−α. La convergenza ha ordine p se, per una successione che converge e con
%|errori non nulli,
%|lim_{k→∞}(|e_(k+1)|)/(|e_(k)|^(p))=C,  0<C<∞.
%|Con p=1 si ha convergenza lineare (con 0<C<1); con p>1 superlineare; con p=2 quadratica. L’ordine
%|è una proprietà locale/asintotica, non promette convergenza da qualunque punto iniziale.
%@TOPIC 6
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodo di bisezione: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Ipotesi. f continua su [a_(0),b_(0)], con f(a_(0))f(b_(0))<0; per il teorema degli zeri esiste
%|almeno una radice nell’intervallo. Il metodo non richiede la derivata.
%|Algoritmo. A ogni passo si calcola il medio c_(k)=(a_(k)+b_(k))/2; se f(c_(k))=0 abbiamo trovato una
%|radice, altrimenti si conserva una metà dell’intervallo che presenta il cambiamento di segno. La
%|lunghezza dopo k dimezzamenti è:
%|b_(k)−a_(k)=(b_(0)−a_(0))/(2^(k)).
%|L’errore del punto medio c_(k) rispetto a una radice nell’intervallo è limitato da:
%||c_(k)−α|≤(b_(k)−a_(k))/(2)=(b_(0)−a_(0))/(2^(k+1)).
%|Per garantire errore del punto medio ≤tol basta scegliere k tale che (b_(0)−a_(0))/2^(k+1)≤tol. Una
%|formula equivalente per la lunghezza dell’intervallo è k≥⌈log_(2)((b_(0)−a_(0))/tol)⌉.
%|Limiti. È lento rispetto a Newton vicino a radici semplici; non rileva necessariamente radici di
%|molteplicità pari, perché non cambia segno; non garantisce unicità della radice.
%|Risposta modello — «Mi parli della bisezione»
%|Il metodo di bisezione è un algoritmo robusto per approssimare uno zero di una funzione continua. Si
%|parte da due estremi con valori della funzione di segno opposto: per il teorema degli zeri esiste
%|almeno una radice nell’intervallo. A ogni passo calcolo il punto medio e tengo la metà che conserva
%|il cambiamento di segno. L’ampiezza dell’intervallo si dimezza sempre, e quindi posso conoscere a
%|priori un limite superiore dell’errore del punto medio e stimare il numero di iterazioni. Il metodo
%|ha una riduzione lineare dell’intervallo, non richiede derivate ed è affidabile; è però meno veloce
%|di Newton e non è applicabile direttamente quando non trovo un cambiamento di segno.
%@TOPIC 7
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodo di Newton o delle tangenti: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Si parte da x_(0) e si sostituisce localmente f con la sua linearizzazione:
%|f(x_(k)+s)≈f(x_(k))+f′(x_(k))s.
%|Imponendo che l’approssimazione lineare sia nulla e assumendo f′(x_(k))≠0:
%|x_(k+1)=x_(k)−(f(x_(k)))/(f′(x_(k))).
%|Interpretazione geometrica: x_(k+1) è l’intersezione con l’asse orizzontale della tangente al
%|grafico nel punto (x_(k),f(x_(k))).
%|Convergenza locale. Se f è abbastanza regolare (ad esempio C^(2) in un intorno della radice), f(α)=0
%|e f′(α)≠0, allora a partire da x_(0) sufficientemente vicino il metodo converge quadraticamente:
%|e_(k+1)=(f″(α))/(2f′(α))e_(k)^(2)+o(e_(k)^(2)).
%|Se f″(α)=0, il termine dominante può avere ordine superiore. La formula richiede che f′(x_(k)) non
%|sia nullo durante l’iterazione. Un punto iniziale poco favorevole può provocare oscillazioni,
%|divergenza o convergenza a un’altra radice.
%|Radici multiple. Se f(x)=(x−α)^(m)q(x), q(α)≠0, m>1, Newton standard è tipicamente soltanto lineare,
%|con fattore asintotico (m−1)/m. Se la molteplicità è nota:
%|x_(k+1)=x_(k)−m(f(x_(k)))/(f′(x_(k)))
%|ripristina sotto adeguate ipotesi la convergenza quadratica locale. [L/I: il laboratorio analizza le
%|radici multiple e usa anche Newton modificato.]
%|Risposta modello — «Mi parli di Newton per il calcolo delle radici»
%|Newton è un metodo iterativo per risolvere f(x)=0. A partire da un punto iniziale sostituisce la
%|funzione con la tangente, cioè con lo sviluppo di Taylor al primo ordine. Ponendo uguale a zero la
%|retta si ricava l’aggiornamento x_(k+1)=x_(k)−f(x_(k))/f′(x_(k)). Per una radice semplice, con
%|funzione sufficientemente regolare e punto iniziale sufficientemente vicino, il metodo converge
%|localmente con ordine quadratico: l’errore al passo successivo è proporzionale al quadrato di quello
%|precedente. È quindi molto rapido nella fase finale. Rispetto alla bisezione non richiede di
%|racchiudere la radice in un intervallo con cambiamento di segno, ma necessita del calcolo della
%|derivata e non garantisce la convergenza globale. In presenza di una radice multipla Newton standard
%|perde generalmente l’ordine quadratico; se conosco la molteplicità posso utilizzare Newton
%|modificato.
%@TOPIC 8
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodo delle secanti: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Sostituiamo la derivata nella formula di Newton con la pendenza tra due punti:
%|f′(x_(k))≈(f(x_(k))−f(x_(k−1)))/(x_(k)−x_(k−1)).
%|Ne segue, per denominatore non nullo,
%|x_(k+1)=x_(k)−f(x_(k))(x_(k)−x_(k−1))/(f(x_(k))−f(x_(k−1))).
%|Richiede due valori iniziali ma non la derivata. Per una radice semplice e nelle consuete ipotesi
%|locali la convergenza ha ordine p=(1+root[2](5))/2≈1.618, superlineare ma inferiore a quella
%|quadratica di Newton. Se f(x_(k))≈f(x_(k−1)), il passo può diventare molto grande o indefinito.
%|Risposta modello — «Confronti Newton e secanti»
%|Entrambi i metodi cercano l’intersezione con l’asse delle ascisse di un’approssimazione lineare
%|della funzione. Newton usa la tangente, quindi richiede la derivata; il metodo delle secanti usa la
%|retta per due approssimazioni successive, sostituendo la derivata con una differenza divisa. Newton
%|ha convergenza quadratica locale su radici semplici, mentre le secanti hanno ordine circa 1,618. Le
%|secanti sono utili quando calcolare la derivata è scomodo o costoso, ma entrambi i metodi dipendono
%|dai valori iniziali e possono non convergere.
%@TOPIC 9
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Test di arresto: incremento e residuo: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Poiché α non è noto, l’errore |x_(k)−α| non è direttamente calcolabile. Si usano ad esempio:
%||x_(k+1)−x_(k)|≤tol_(x),  |f(x_(k+1))|≤tol_(f),
%|oppure il criterio relativo sull’incremento:
%|(|x_(k+1)−x_(k)|)/(max(1,|x_(k+1)|))≤tol.
%|Cautela: un incremento piccolo può derivare da stagnazione; un residuo piccolo non garantisce errore
%|piccolo se |f′(α)| è piccolo. Localmente, per una radice semplice:
%||x−α|≈(|f(x)|)/(|f′(α)|).
%|Affiancare un limite k_(max) per evitare cicli indefiniti e testare eventuali derivate o
%|denominatori molto piccoli.
%@TOPIC 10
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodi di punto fisso: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Un punto α è fisso per g se g(α)=α. Si riscrive f(x)=0 nella forma equivalente x=g(x) e si itera:
%|x_(k+1)=g(x_(k)).
%|Teorema di contrazione, in un intervallo. Se g:[a,b]→[a,b] è continua e |g(x)−g(y)|≤L|x−y| per ogni
%|x,y con 0<L<1, esiste un unico punto fisso nell’intervallo e ogni x_(0)∈[a,b] converge ad esso. Se
%|g∈C^(1), è sufficiente max_([a,b])|g′|≤L<1. Valgono le stime:
%||x_(k)−α|≤(L^(k))/(1−L)|x_(1)−x_(0)|,
%||x_(k)−α|≤(L)/(1−L)|x_(k)−x_(k−1)| (k≥1).
%|Criterio locale. Se g è derivabile vicino ad α e |g′(α)|<1, il punto è localmente attrattivo; se
%||g′(α)|>1 è localmente repulsivo. Se |g′(α)|=1, questo solo criterio non decide. Se g′(α)=0 e g è
%|regolare, si può avere ordine almeno quadratico.
%|Newton è esso stesso un metodo di punto fisso con g(x)=x−f(x)/f′(x), per f′(x)≠0.
%|Risposta modello — «Che cos’è il metodo di punto fisso? Quando converge?»
%|La ricerca dello zero può essere trasformata nella ricerca di un punto fisso di una funzione g, cioè
%|di un valore che soddisfa g(α)=α. Si parte da x_(0) e si costruisce la successione x_(k+1)=g(x_(k)).
%|La scelta di g è fondamentale: equazioni equivalenti possono produrre iterazioni numericamente molto
%|diverse. Una condizione sufficiente di convergenza globale su un intervallo è che g mandi
%|l’intervallo in sé stesso e sia contrattiva, con costante L<1; allora il punto fisso è unico e
%|l’iterazione converge da qualsiasi punto iniziale dell’intervallo. Localmente, il modulo di g′(α)
%|minore di uno indica attrattività. La convergenza è tipicamente lineare, ma può essere più rapida se
%|la derivata della funzione iterativa si annulla nel punto fisso.
%@TOPIC 11
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Sistemi non lineari e Newton multidimensionale: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Si cerca x∈R^(n) tale che:
%|F(x)=[f_(1)(x); ⋮; f_(n)(x)]=0.
%|La Jacobiana contiene le derivate parziali:
%|J_(F)(x)=[(∂f_(i))/(∂x_(j))(x)]_(i,j=1)^(n).
%|Linearizziamo F(x_(k)+s)≈F(x_(k))+J_(F)(x_(k))s e imponiamo valore zero. A ogni iterazione
%|risolviamo:
%|J_(F)(x_(k))s_(k)=−F(x_(k)),  x_(k+1)=x_(k)+s_(k).
%|È equivalente a x_(k+1)=x_(k)−J_(F)(x_(k))^(−1)F(x_(k)) solo matematicamente, quando l’inversa
%|esiste. Numericamente si usa s = -J\F, senza calcolare l’inversa esplicita. Per F sufficientemente
%|regolare, Jacobiana non singolare nella soluzione e dato iniziale abbastanza vicino, la convergenza
%|è quadratica locale. Un criterio di arresto può richiedere ∥s_(k)∥ e/o ∥F(x_(k+1))∥ piccoli.
%|ATTENZIONE al segno in MATLAB: le due implementazioni coerenti sono s = J\(-F); xnew=x+s; oppure
%|z=J\F; xnew=x-z;. Fare z=J\F; xnew=x+z; non è Newton e generalmente diverge. Le formule vanno
%|verificate rispetto agli script, perché alcune presentazioni schematiche possono omettere il segno
%|nel testo estratto dai PDF.
%|Risposta modello — «Mi parli di Newton per sistemi»
%|Per risolvere un sistema non lineare si cerca il vettore che annulla contemporaneamente le
%|componenti di una funzione F:R^(n)→R^(n). Newton generalizza la formula scalare sostituendo la
%|derivata con la matrice Jacobiana. Tramite lo sviluppo di Taylor vettoriale al primo ordine ottengo
%|il sistema lineare J_(F)(x_(k))s_(k)=−F(x_(k)). Risolvo questo sistema per calcolare la correzione e
%|aggiorno x_(k+1)=x_(k)+s_(k). Non conviene formare l’inversa della Jacobiana: in MATLAB è
%|preferibile il comando \. Se la Jacobiana della soluzione è non singolare e la stima iniziale è
%|sufficientemente vicina, si ha convergenza quadratica locale. Il costo computazionale è maggiore del
%|caso scalare, perché occorre costruire la Jacobiana e risolvere un sistema lineare a ogni
%|iterazione.
%@TOPIC 12
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Applicazioni di laboratorio [L]: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Le esercitazioni mostrano anche ricerca delle radici dei polinomi, effetto della scelta di x_(0),
%|radici complesse, confronto tra Newton standard e modificato e ricerca di un minimo mediante
%|azzeramento della derivata. Questi sono contesti applicativi dei metodi precedenti; non equivalgono,
%|nel calendario, a un corso generale separato sull’ottimizzazione numerica.
%|
%|Capitolo 5 — Sistemi lineari e metodi numerici [P: settimane 6–8]
%@TOPIC 13
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Il problema Ax=b: esistenza, unicità, residuo e condizionamento: definizioni,
%|formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Dato un sistema quadrato Ax=b, A∈R^(n×n), le seguenti condizioni sono equivalenti: A invertibile;
%|detA≠0; rango n; il sistema omogeneo Ax=0 ha solo soluzione nulla; per ogni b la soluzione è unica.
%|Il sistema può nascere da modelli fisici, discretizzazione di equazioni, ottimizzazione e Newton per
%|sistemi non lineari.
%|Norme matriciali indotte:
%|∥A∥=max_{x≠0}(∥Ax∥)/(∥x∥), ∥A∥_(∞)=max_{i}∑[j;​] |a_(ij)|, ∥A∥_(1)=max_{j}∑[i;​] |a_(ij)|.
%|Per matrice invertibile il numero di condizionamento, rispetto alla norma scelta, è:
%|κ(A)=∥A∥ ∥A^(−1)∥≥1.
%|Se tilde(x) è approssimazione e r=b−Atilde(x) è il residuo, allora x−tilde(x)=A^(−1)r, perciò:
%|∥x−tilde(x)∥≤∥A^(−1)∥ ∥r∥.
%|Inoltre, con b=Ax≠0:
%|(∥x−tilde(x)∥)/(∥x∥)≤κ(A)(∥r∥)/(∥b∥).
%|Il residuo piccolo non basta a garantire errore relativo piccolo quando κ(A) è grande. Per una
%|perturbazione solo nel termine noto A(x+Δx)=b+Δb:
%|(∥Δx∥)/(∥x∥)≤κ(A)(∥Δb∥)/(∥b∥).
%|Interpretazione: il condizionamento appartiene al problema, non al metodo scelto per risolverlo. La
%|presenza di errori di arrotondamento rende importante usare algoritmi stabili.
%|Risposta modello — «Mi spieghi il numero di condizionamento di una matrice»
%|Un sistema lineare quadrato Ax=b ammette una soluzione unica se e solo se A è non singolare. Il
%|numero di condizionamento κ(A)=∥A∥∥A^(−1)∥ quantifica quanto la soluzione può essere sensibile a
%|piccole perturbazioni dei dati. Se è vicino a uno, il problema è relativamente ben condizionato; se
%|è molto grande, anche piccole variazioni possono produrre errori importanti. Il residuo
%|r=b−Atilde(x) permette di misurare quanto bene la soluzione approssimata soddisfa le equazioni, ma
%|un residuo piccolo non garantisce da solo una soluzione accurata: il legame con l’errore relativo
%|coinvolge proprio il numero di condizionamento. Per questo condizionamento e stabilità
%|dell’algoritmo devono essere valutati separatamente.
%@TOPIC 14
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Sistemi triangolari e sostituzioni: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Per Lx=b con L triangolare inferiore e diagonale non nulla, la sostituzione in avanti è:
%|x_(i)=(b_(i)−∑[j=1;i−1] l_(ij)x_(j))/(l_(ii)),  i=1,…,n.
%|Per Ux=b con U triangolare superiore e diagonale non nulla, la sostituzione all’indietro è:
%|x_(i)=(b_(i)−∑[j=i+1;n] u_(ij)x_(j))/(u_(ii)),  i=n,…,1.
%|I metodi richiedono O(n^(2)) operazioni per matrici dense e costituiscono i passi finali delle
%|fattorizzazioni LU, Cholesky e QR.
%@TOPIC 15
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Eliminazione di Gauss e pivotazione per righe: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|L’eliminazione di Gauss applica operazioni elementari di riga per trasformare Ax=b in Ux=c, dove U è
%|triangolare superiore. Al passo k, se il pivot a_(kk)^((k))≠0:
%|m_(ik)=(a_(ik)^((k)))/(a_(kk)^((k))),  a_(ij)^((k+1))=a_(ij)^((k))−m_(ik)a_(kj)^((k)), i>k, j>k.
%|Pivotazione parziale per righe: si cerca nella colonna k, tra le righe k,…,n, un elemento di massimo
%|modulo e lo si scambia con quello sulla diagonale. In questo modo si evitano pivot nulli e si riduce
%|il rischio di amplificare gli errori dovuti a pivot piccolissimi. La complessità per matrici dense è
%|O(n^(3)); le sostituzioni costano O(n^(2)).
%|Risposta modello — «Illustri Gauss e la pivotazione»
%|L’eliminazione di Gauss è un metodo diretto per risolvere sistemi lineari quadrati. Attraverso
%|combinazioni lineari delle righe annulla progressivamente i coefficienti sotto la diagonale,
%|ottenendo un sistema triangolare superiore che risolve con sostituzione all’indietro. Il problema
%|numerico principale è la scelta del pivot: una divisione per un valore nullo interrompe il metodo,
%|mentre un pivot molto piccolo può produrre grandi moltiplicatori e amplificare l’arrotondamento. La
%|pivotazione parziale scambia le righe scegliendo il coefficiente di massimo modulo nella colonna
%|corrente. Il costo del metodo per matrici dense cresce come il cubo della dimensione, ma la
%|procedura è largamente utilizzata grazie alla sua efficacia e robustezza con pivotazione.
%@TOPIC 16
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Fattorizzazione LU: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Si cerca una decomposizione:
%|A=LU,
%|con L triangolare inferiore (spesso con diagonale unitaria) e U superiore. È possibile senza scambi
%|di riga se i pivot che si incontrano non si annullano; una condizione sufficiente classica è che i
%|minori principali iniziali siano tutti non nulli. Con pivotazione per righe si ottiene invece:
%|PA=LU,
%|con P matrice di permutazione. Per risolvere Ax=b si procede con due sistemi triangolari:
%|Ly=Pb,  Ux=y.
%|Vantaggio: se la matrice A resta la stessa e cambiano i termini noti b, la fattorizzazione si esegue
%|una volta sola; poi ogni nuovo sistema richiede solo sostituzioni triangolari.
%|Determinante: se PA=LU, allora det(A)=det(P)∏[i;​] u_(ii), quando L ha diagonale unitaria. L’inversa
%|si può calcolare risolvendo Ax=e_(i) per tutte le colonne, ma di norma non serve formarla per
%|risolvere un singolo sistema.
%|Risposta modello — «Che cos’è la fattorizzazione LU?»
%|La fattorizzazione LU consiste nello scrivere una matrice quadrata come prodotto di una matrice
%|triangolare inferiore e una superiore. Nasce dall’eliminazione di Gauss: i moltiplicatori sono
%|memorizzati nella parte inferiore e la matrice trasformata nella parte superiore. Una volta ottenuti
%|L e U, risolvo il sistema con una sostituzione in avanti e una all’indietro. Se sono necessari
%|scambi di righe, la forma corretta è PA=LU, dove P registra le permutazioni. Il principale vantaggio
%|è l’efficienza quando si devono risolvere numerosi sistemi con la stessa matrice e termini noti
%|diversi.
%@TOPIC 17
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Fattorizzazione di Cholesky: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Per A simmetrica definita positiva (A=A^(T) e x^(T)Ax>0 per ogni x≠0), esiste un’unica
%|fattorizzazione:
%|A=LL^(T),
%|con L triangolare inferiore e diagonale positiva. Equivalente: A=R^(T)R. Si risolve:
%|Ly=b,  L^(T)x=y.
%|È più economica di una LU generale per matrici dense simmetriche definite positive e non necessita
%|di pivotazione nelle ipotesi ideali. Condizione essenziale: la matrice deve essere simmetrica e
%|definita positiva; la sola simmetria non basta.
%|Risposta modello — «Quando conviene Cholesky?»
%|Cholesky è una fattorizzazione specifica per matrici reali simmetriche definite positive, scritte
%|come LL^(T). La definita positività garantisce l’esistenza della fattorizzazione con diagonale
%|positiva. Come con LU, la soluzione passa attraverso due sistemi triangolari, ma la struttura
%|simmetrica riduce memoria e operazioni. È quindi preferibile nei problemi che forniscono
%|naturalmente matrici simmetriche definite positive, ad esempio in molti problemi di minimo quadrato
%|ben posti e in alcuni sistemi derivati da modelli fisici. Non va applicata direttamente a una
%|matrice simmetrica indefinita.
%@TOPIC 18
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodi iterativi e matrici sparse: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Un metodo iterativo produce x_(0),x_(1),… cercando di avvicinarsi alla soluzione senza completare
%|un’eliminazione. Può sfruttare soprattutto prodotti matrice-vettore e quindi essere conveniente per
%|matrici sparse di grandi dimensioni. Un procedimento iterativo può essere scritto in forma generale:
%|x_(k+1)=Bx_(k)+c.
%|Converge da ogni x_(0) se ρ(B)<1 (raggio spettrale). [I: criterio generale utile a inquadrare i
%|metodi; le lezioni si concentrano soprattutto su gradiente e gradiente coniugato.]
%|Una matrice sparsa contiene molti zeri e si memorizza conservando soltanto gli elementi non nulli.
%|Nelle fattorizzazioni dirette può comparire fill-in, ossia coefficienti non nulli in posizioni
%|originariamente nulle. La scelta dell’ordinamento influenza memoria e costo.
%@TOPIC 19
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodo del gradiente per Ax=b: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Ipotesi: A simmetrica definita positiva. Risolvere Ax=b equivale a minimizzare la funzione
%|quadratica strettamente convessa:
%|φ(x)=(1)/(2)x^(T)Ax−b^(T)x,  ∇φ(x)=Ax−b.
%|Ponendo r_(k)=b−Ax_(k) il residuo, la direzione di discesa è r_(k)=−∇φ(x_(k)). Il metodo del
%|gradiente con ricerca esatta lungo la direzione usa:
%|α_(k)=(r_(k)^(T)r_(k))/(r_(k)^(T)Ar_(k)),  x_(k+1)=x_(k)+α_(k)r_(k).
%|La direzione del residuo corrente è ortogonale al residuo successivo, quando si sceglie il passo
%|ottimale e in aritmetica esatta. La convergenza può essere lenta quando il condizionamento spettrale
%|di A è elevato; geometricamente il percorso presenta spesso una traiettoria a zig-zag.
%|Risposta modello — «Illustri il metodo del gradiente»
%|Per una matrice simmetrica definita positiva, il sistema Ax=b equivale alla minimizzazione di una
%|funzione quadratica strettamente convessa. Il suo gradiente è Ax−b, quindi il residuo b−Ax_(k)
%|fornisce la direzione di massima discesa locale. Si aggiorna la soluzione nella direzione del
%|residuo scegliendo il passo che minimizza la funzione quadratica lungo quella retta, ottenendo
%|α_(k)=(r_(k)^(T)r_(k))/(r_(k)^(T)Ar_(k)). Il metodo sfrutta prodotti matrice-vettore ed è adatto
%|anche a matrici sparse. Tuttavia può essere lento per problemi mal condizionati, mentre il gradiente
%|coniugato costruisce direzioni più efficaci.
%@TOPIC 20
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodo del gradiente coniugato (CG): definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Per A simmetrica definita positiva, il gradiente coniugato sceglie direzioni di ricerca A-coniugate,
%|cioè p_(i)^(T)Ap_(j)=0 per i≠j (in aritmetica esatta). La forma classica è:
%|r_(0)=b−Ax_(0), p_(0)=r_(0).
%|α_(k)=(r_(k)^(T)r_(k))/(p_(k)^(T)Ap_(k)), x_(k+1)=x_(k)+α_(k)p_(k), r_(k+1)=r_(k)−α_(k)Ap_(k).
%|β_(k)=(r_(k+1)^(T)r_(k+1))/(r_(k)^(T)r_(k)),  p_(k+1)=r_(k+1)+β_(k)p_(k).
%|In aritmetica esatta CG trova la soluzione in al più n passi; in aritmetica finita si usa un
%|criterio d’arresto sul residuo. Il numero di iterazioni necessario dipende dallo spettro e dal
%|condizionamento; il precondizionamento può migliorare la convergenza [I].
%|Risposta modello — «Gradiente e gradiente coniugato: differenze»
%|Entrambi risolvono sistemi con matrice simmetrica definita positiva interpretandoli come problemi di
%|minimizzazione quadratica. Il gradiente classico procede lungo il residuo, che è la direzione
%|opposta al gradiente, e sceglie ogni volta il passo ottimale su quella retta. Il gradiente coniugato
%|usa invece direzioni costruite per essere coniugate rispetto alla matrice: ciò evita di perdere il
%|progresso compiuto lungo le direzioni precedenti. In aritmetica esatta termina in al più n
%|iterazioni, mentre nella pratica l’arrotondamento porta a controllare il residuo. CG è spesso
%|preferibile per grandi matrici sparse simmetriche definite positive.
%@TOPIC 21
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Sistemi sovradeterminati e minimi quadrati: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Per A∈R^(m×n), con m>n, il sistema Ax=b di solito non ammette una soluzione esatta. Si cerca allora:
%|x^(*)=argmin_{x}∥Ax−b∥_(2)^(2).
%|Derivando la funzione obiettivo si ottengono le equazioni normali:
%|A^(T)Ax=A^(T)b.
%|Se A ha rango colonna pieno (rankA=n), la soluzione ai minimi quadrati è unica. Le equazioni normali
%|sono matematicamente corrette, ma formare A^(T)A può peggiorare il condizionamento: in norma 2, con
%|rango pieno, κ_(2)(A^(T)A)=κ_(2)(A)^(2).
%@TOPIC 22
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Fattorizzazione QR per i minimi quadrati: definizioni, formule, ipotesi, proprieta
%|e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Per A∈R^(m×n) di rango colonna pieno, con m≥n, la QR ridotta scrive:
%|A=QR, Q∈R^(m×n), Q^(T)Q=I_(n), R∈R^(n×n) triangolare superiore.
%|Il problema min∥Ax−b∥_(2) si riconduce al sistema triangolare:
%|Rx=Q^(T)b.
%|Poiché Q ha colonne ortonormali, la fattorizzazione QR, calcolata con algoritmi stabili come le
%|riflessioni di Householder, è in genere preferibile alla risoluzione diretta delle equazioni
%|normali. Se A è a rango carente, occorrono accorgimenti come QR con pivotazione o SVD [I].
%|Risposta modello — «Che cosa sono i minimi quadrati e perché si usa QR?»
%|Un sistema sovradeterminato contiene più equazioni che incognite e in generale non può essere
%|soddisfatto esattamente. La soluzione ai minimi quadrati minimizza la norma euclidea del residuo.
%|Derivando la funzione obiettivo si ottengono le equazioni normali A^(T)Ax=A^(T)b. Tuttavia il
%|prodotto A^(T)A può amplificare il condizionamento. La fattorizzazione QR permette di esprimere la
%|matrice come prodotto di una matrice a colonne ortonormali e una triangolare superiore; con la QR
%|ridotta il problema si risolve tramite Rx=Q^(T)b. Si ottiene così una procedura numericamente più
%|robusta, soprattutto quando i dati non sono ben condizionati.
%|
%|Capitolo 3 — Approssimazione di funzioni e interpolazione [P: settimane 8–10]
%@TOPIC 23
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|L’approssimazione cerca una funzione semplice che descriva un insieme di dati, senza imporre il
%|passaggio per tutti i punti. Dati (x_(i),y_(i)), i=1,…,N, e un modello lineare nei parametri
%|p(x)=∑[j=0;m] a_(j)ϕ_(j)(x),
%|si minimizza la somma dei quadrati:
%|min_{a_(0),…,a_(m)}∑[i=1;N] (p(x_(i))−y_(i))^(2).
%|Definiamo la matrice di progetto X_(ij)=ϕ_(j−1)(x_(i)) (indici i=1,…,N e j=1,…,m+1). Il problema
%|diventa:
%|min_{a}∥Xa−y∥_(2)^(2);  X^(T)Xa=X^(T)y.
%|Per approssimazione polinomiale si sceglie ϕ_(j)(x)=x^(j) e la matrice X ha struttura di
%|Vandermonde. La stabilità dipende anche dalla scelta di base, dal grado e dalla distribuzione dei
%|nodi. La QR è generalmente preferibile alle equazioni normali numericamente.
%|Esempio: regressione lineare. Per p(x)=a_(0)+a_(1)x, il modello approssima la tendenza media anziché
%|passare esattamente per ogni coppia osservata.
%|Risposta modello — «Che differenza c’è fra approssimazione ai minimi quadrati e interpolazione?»
%|Nell’approssimazione ai minimi quadrati si cerca una funzione appartenente a una classe prefissata
%|che renda minima la somma dei quadrati delle differenze rispetto ai dati; non è necessario passare
%|esattamente per i punti. Nell’interpolazione, invece, si impone il passaggio per tutti i nodi. I
%|minimi quadrati sono particolarmente adatti a dati rumorosi o sovrabbondanti, mentre
%|l’interpolazione è appropriata quando si vogliono riprodurre esattamente i valori noti. Per un
%|modello lineare nei coefficienti il problema di minimi quadrati diventa un sistema sovradeterminato
%|che può essere risolto efficacemente mediante QR.
%@TOPIC 24
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Interpolazione polinomiale globale di Lagrange: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Dati n+1 nodi distinti x_(0),…,x_(n) e valori y_(i)=f(x_(i)), esiste un unico polinomio p_(n) di
%|grado al più n tale che p_(n)(x_(i))=y_(i). Nella forma di Lagrange:
%|p_(n)(x)=∑[i=0;n] y_(i)L_(i)(x),  L_(i)(x)=∏[j=0; j≠i;n] (x−x_(j))/(x_(i)−x_(j)).
%|Le funzioni fondamentali soddisfano L_(i)(x_(j))=δ_(ij), che garantisce l’interpolazione. L’unicità
%|deriva dal fatto che la differenza fra due polinomi di grado ≤n che si annullano in n+1 nodi
%|distinti è identicamente nulla.
%|Resto dell’interpolazione. Se f∈C^(n+1)([a,b]) e x appartiene all’intervallo che contiene i nodi,
%|esiste ξ_(x) tale che:
%|f(x)−p_(n)(x)=(f^((n+1))(ξ_(x)))/((n+1)!)∏[i=0;n] (x−x_(i)).
%|Il resto dipende sia dalle derivate di f sia dalla distribuzione dei nodi. L’interpolazione non
%|migliora necessariamente aumentando il grado su nodi equispaziati: può comparire il fenomeno di
%|Runge, con oscillazioni soprattutto agli estremi. Nodi di Chebyshev mitigano il problema [I].
%|Risposta modello — «Mi parli dell’interpolazione di Lagrange»
%|L’interpolazione polinomiale di Lagrange costruisce un polinomio di grado al più n che assume
%|esattamente i valori assegnati in n+1 nodi distinti. Il polinomio è espresso come somma dei dati
%|moltiplicati per i polinomi fondamentali L_(i), ciascuno dei quali vale uno nel proprio nodo e zero
%|negli altri. Il polinomio esiste ed è unico. L’errore è espresso tramite la derivata di ordine n+1
%|della funzione e il prodotto delle distanze dai nodi; quindi dipende dalla regolarità della funzione
%|e dalla scelta dei nodi. Con molti nodi equispaziati si possono avere forti oscillazioni, perciò in
%|pratica spesso conviene ricorrere a interpolazione composita o spline.
%@TOPIC 25
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Formula baricentrica di Lagrange [P: cenno]: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|La forma baricentrica è un modo più efficiente e generalmente più stabile di valutare il medesimo
%|polinomio interpolatore. Ponendo i pesi:
%|w_(i)=(1)/(∏[j≠i;​] (x_(i)−x_(j))),
%|per x diverso dai nodi:
%|p_(n)(x)=(∑[i=0;n] (w_(i)y_(i))/(x−x_(i)))/(∑[i=0;n] (w_(i))/(x−x_(i))).
%|Se x=x_(i), per definizione si pone p_(n)(x_(i))=y_(i), evitando divisioni per zero. I pesi
%|dipendono dai nodi e possono essere riutilizzati per più valutazioni.
%@TOPIC 26
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Interpolazione composita e stima dell’errore: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Invece di costruire un unico polinomio di grado elevato, si partiziona [a,b]:
%|a=x_(0)<x_(1)<⋯<x_(N)=b
%|ed entro ciascun sottointervallo si costruisce un polinomio di grado basso. Nel caso lineare a
%|tratti:
%|p_(1)(x)=f(x_(i))+(f(x_(i+1))−f(x_(i)))/(h_(i))(x−x_(i)),  x∈[x_(i),x_(i+1)], h_(i)=x_(i+1)−x_(i).
%|Se f∈C^(2) e h=maxh_(i), per il lineare a tratti:
%|∥f−p_(1)∥_(∞)≤(h^(2))/(8)∥f″∥_(∞).
%|Dunque, con nodi sufficientemente fitti e funzione regolare, l’errore decresce come O(h^(2)).
%|L’interpolante lineare composito è continuo, ma in generale non ha derivata prima continua nei nodi.
%|Risposta modello — «Perché usare l’interpolazione composita?»
%|Un polinomio globale di grado elevato può essere instabile e oscillare molto tra i nodi.
%|L’interpolazione composita suddivide l’intervallo in elementi più piccoli e costruisce su ciascuno
%|un polinomio di basso grado. Nel caso lineare l’interpolante è continuo e riproduce i valori agli
%|estremi di ogni sottointervallo. L’errore dipende dalla massima ampiezza h degli intervalli ed è
%|dell’ordine di h^(2) per funzioni con derivata seconda continua. Il metodo evita le oscillazioni
%|tipiche dei polinomi globali molto elevati, al prezzo di una regolarità limitata ai confini tra gli
%|elementi.
%@TOPIC 27
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Spline cubiche: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Una spline cubica interpolante S è una funzione polinomiale a tratti di grado al più 3 che:
%|interpola i dati: S(x_(i))=y_(i);
%|è continua in tutto l’intervallo;
%|ha derivata prima e seconda continue: S∈C^(2)([a,b]);
%|soddisfa due condizioni aggiuntive agli estremi.
%|Per esempio una spline naturale impone:
%|S″(a)=S″(b)=0.
%|Una spline completa/vincolata (clamped) può imporre S′(a)=f′(a), S′(b)=f′(b), quando tali derivate
%|sono note. I coefficienti degli archi cubici vengono determinati risolvendo un sistema lineare,
%|generalmente tridiagonale.
%|Con f sufficientemente regolare e partizione quasi uniforme, l’errore della spline cubica
%|interpolante può essere O(h^(4)) in norma uniforme, sotto opportune condizioni. Non affermare che
%|tale stima valga senza ipotesi su f, nodi e vincoli di bordo.
%|Risposta modello — «Mi parli delle spline cubiche»
%|Le spline cubiche sono funzioni definite mediante polinomi di terzo grado su intervalli consecutivi.
%|A differenza dell’interpolazione lineare a tratti, oltre a interpolare i valori nei nodi impongono
%|la continuità della funzione e delle prime due derivate, quindi generano curve lisce. Per
%|individuare una spline cubica sono necessarie anche due condizioni al bordo, ad esempio le
%|condizioni naturali che annullano la derivata seconda agli estremi. Il problema di calcolo dei
%|coefficienti si traduce in un sistema lineare tipicamente tridiagonale. Le spline permettono di
%|ottenere buona accuratezza senza aumentare globalmente il grado del polinomio, limitando il rischio
%|di oscillazioni spurie.
%|
%|Capitolo 4 — Derivazione numerica e quadratura [P: settimane 10–11]
%@TOPIC 28
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Differenze finite per la derivata prima: definizioni, formule, ipotesi, proprieta
%|e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Quando la formula analitica della derivata non è disponibile, si approssima usando valori della
%|funzione in punti vicini. Dallo sviluppo di Taylor:
%|f(x+h)=f(x)+hf′(x)+(h^(2))/(2)f″(x)+(h^(3))/(6)f‴(ξ).
%|Da questo si ricavano:
%|Differenza in avanti (ordine 1):
%|D_(h)^(+)f(x)=(f(x+h)−f(x))/(h)=f′(x)+O(h).
%|Differenza all’indietro (ordine 1):
%|D_(h)^(−)f(x)=(f(x)−f(x−h))/(h)=f′(x)+O(h).
%|Differenza centrata (ordine 2):
%|D_(h)^(0)f(x)=(f(x+h)−f(x−h))/(2h)=f′(x)+O(h^(2)).
%|Per la derivata seconda:
%|f″(x)≈(f(x+h)−2f(x)+f(x−h))/(h^(2)), errore O(h^(2)).
%|Le stime d’ordine richiedono adeguata regolarità della funzione. Più piccolo h significa minore
%|errore di troncamento, ma maggiore rischio di errori di arrotondamento per cancellazione.
%@TOPIC 29
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Bilanciamento fra troncamento e arrotondamento: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Per una differenza in avanti, l’errore complessivo ha spesso andamento qualitativo:
%|E(h)≲C_(1)h+C_(2)(u)/(h).
%|Per una differenza centrata:
%|E(h)≲C_(3)h^(2)+C_(4)(u)/(h).
%|Ne derivano, molto schematicamente e trascurando fattori di scala, un passo ottimale dell’ordine di
%|root[2](u) per la differenza in avanti e u^(1/3) per la centrata. [I: risultato di analisi
%|dell’errore utile per spiegare perché h→0 non è sempre vantaggioso in macchina.]
%|Risposta modello — «Spieghi le formule alle differenze finite»
%|Le differenze finite approssimano una derivata utilizzando solo valori della funzione. Si ricavano
%|dagli sviluppi di Taylor e possono essere in avanti, all’indietro o centrate. Le formule
%|monolaterali per la derivata prima hanno errore di troncamento di primo ordine in h, mentre quella
%|centrata ha errore del secondo ordine. Riducendo il passo migliora l’approssimazione analitica, ma
%|in aritmetica finita le sottrazioni di valori vicini amplificano l’effetto dell’arrotondamento. Per
%|questo il passo non deve essere scelto arbitrariamente piccolo: occorre bilanciare errore di
%|troncamento ed errore di macchina.
%@TOPIC 30
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Quadratura numerica e formule interpolatorie: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|L’obiettivo è approssimare un integrale definito:
%|I(f)=∫[a;b] f(x) dx.
%|Nelle formule interpolatorie si sostituisce la funzione con un polinomio che interpola alcuni nodi e
%|si integra il polinomio. Si ottiene una combinazione pesata dei valori della funzione:
%|Q(f)=∑[i=0;n] ω_(i)f(x_(i)).
%|Il grado di esattezza di una quadratura è il massimo intero d tale che la formula integra
%|esattamente tutti i polinomi di grado ≤d.
%@TOPIC 31
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Punto medio, trapezi e Simpson — formule semplici: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Poniamo h=b−a, m=(a+b)/2.
%|Punto medio:
%|Q_(M)(f)=h f(m).
%|Grado di esattezza 1. Se f∈C^(2):
%|I(f)−Q_(M)(f)=(h^(3))/(24)f″(ξ), ξ∈(a,b).
%|Trapezio:
%|Q_(T)(f)=(h)/(2) [f(a)+f(b)].
%|Grado di esattezza 1. Se f∈C^(2):
%|I(f)−Q_(T)(f)=−(h^(3))/(12)f″(ξ).
%|Simpson:
%|Q_(S)(f)=(h)/(6) [f(a)+4f(m)+f(b)].
%|Si ottiene integrando il polinomio interpolatore quadratico sui tre nodi a,m,b. È una formula chiusa
%|(usa anche gli estremi). La simmetria rende esatti anche i cubici, quindi il grado di esattezza è 3
%|pur partendo da un interpolante di grado 2.
%|Grado di esattezza 3. Se f∈C^(4):
%|I(f)−Q_(S)(f)=−(h^(5))/(2880)f^((4))(ξ).
%|Attenzione: queste sono formule su un solo intervallo, non ancora formule composite; la notazione
%|del passo e delle costanti varia quando si divide l’intervallo.
%@TOPIC 32
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Formule di quadratura composite: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Si suddivide [a,b] in N intervalli di ampiezza h=(b−a)/N con x_(i)=a+ih. Le formule si applicano su
%|ciascun elemento e si sommano.
%|Trapezi compositi:
%|Q_(T)^(N)(f)=h[(f(x_(0)))/(2)+∑[i=1;N−1] f(x_(i))+(f(x_(N)))/(2)].
%|Con f∈C^(2), errore globale O(h^(2)).
%|Punto medio composito:
%|Q_(M)^(N)(f)=h∑[i=0;N−1] f​(x_(i)+(h)/(2)),  errore O(h^(2)).
%|Simpson composito: richiede N pari se N è il numero di sottointervalli di passo h:
%|Q_(S)^(N)(f)=(h)/(3)[f(x_(0))+f(x_(N))+4∑[i=1; i dispari;N−1] f(x_(i))+2∑[i=2; i pari;N−2]
%|f(x_(i))].
%|Con f∈C^(4), errore globale O(h^(4)).
%|Formule d’errore globali (con derivate continue e un opportuno ξ):
%|I(f)−Q_(T)^(N)(f)=−(b−a)/(12)h^(2)f″(ξ),
%|I(f)−Q_(M)^(N)(f)=(b−a)/(24)h^(2)f″(ξ),
%|I(f)−Q_(S)^(N)(f)=−(b−a)/(180)h^(4)f^((4))(ξ).
%|Risposta modello — «Confronti punto medio, trapezi e Simpson»
%|Le formule di quadratura approssimano un integrale mediante una somma pesata di valutazioni della
%|funzione. Le formule interpolatorie si ottengono integrando un polinomio interpolatore. Il punto
%|medio usa il valore al centro dell’intervallo; i trapezi usano i valori agli estremi; Simpson
%|combina estremi e punto medio con pesi uno, quattro, uno. Le formule del punto medio e dei trapezi
%|hanno grado di esattezza uno e, in forma composita, errore globale di ordine due. Simpson ha grado
%|di esattezza tre e, per funzioni sufficientemente regolari, errore composito di ordine quattro. La
%|scelta dipende dalla regolarità dell’integranda, dall’accuratezza richiesta e dal costo delle
%|valutazioni.
%|
%|Capitolo 8 — Equazioni differenziali ordinarie (EDO) [P: settimane 11–13]
%@TOPIC 33
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Problema di Cauchy, griglia temporale, soluzione numerica: definizioni, formule,
%|ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Un problema di Cauchy del primo ordine è:
%|y′(t)=f(t,y(t)), t∈[t_(0),T],  y(t_(0))=y_(0).
%|Se f è continua e localmente lipschitziana nella variabile y, si ha un risultato di esistenza e
%|unicità locale della soluzione, nelle opportune ipotesi del teorema di Picard-Lindelöf. Non è vero
%|che la sola continuità di f garantisca unicità.
%|Si introduce una griglia t_(n)=t_(0)+nh (passo costante) e si costruiscono approssimazioni
%|y_(n)≈y(t_(n)). I metodi numerici hanno errori di troncamento locale e globale. I metodi a un passo
%|usano solo il valore y_(n) (e eventuali valutazioni intermedie), quelli multistep anche più valori
%|passati.
%@TOPIC 34
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Eulero esplicito: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Dallo sviluppo di Taylor y(t_(n+1))=y(t_(n))+hy′(t_(n))+O(h^(2)) e dalla relazione y′=f(t,y)
%|otteniamo:
%|y_(n+1)=y_(n)+hf(t_(n),y_(n)).
%|Ordine: errore locale di un passo O(h^(2)), errore globale O(h) su intervalli finiti con opportune
%|ipotesi di regolarità e stabilità; metodo di ordine 1.
%|Vantaggi: semplicissimo ed economico. Svantaggi: accuratezza limitata e vincoli restrittivi sul
%|passo per problemi rigidi (stiff). La pendenza viene valutata nel punto iniziale del passo.
%|Risposta modello — «Mi parli del metodo di Eulero esplicito»
%|Il metodo di Eulero esplicito approssima la soluzione del problema di Cauchy usando lo sviluppo di
%|Taylor al primo ordine. La derivata della soluzione viene sostituita dalla funzione del problema
%|valutata all’istante e nello stato correnti. La formula y_(n+1)=y_(n)+hf(t_(n),y_(n)) permette
%|quindi di avanzare direttamente senza risolvere equazioni non lineari. Il metodo ha ordine globale
%|uno, cioè l’errore su un intervallo finito decresce come il passo, nelle consuete ipotesi. È facile
%|da implementare, ma può richiedere passi molto piccoli sia per l’accuratezza sia per la stabilità,
%|soprattutto con dinamiche rigide.
%@TOPIC 35
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Eulero implicito: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|La pendenza viene valutata all’estremo finale del passo:
%|y_(n+1)=y_(n)+hf(t_(n+1),y_(n+1)).
%|L’incognita y_(n+1) compare da entrambe le parti, quindi a ogni passo può essere necessario
%|risolvere un’equazione o un sistema non lineare, spesso con Newton.
%|Ordine: globalmente 1 (nelle ipotesi standard); errore di un passo O(h^(2)). Punto di forza: buone
%|proprietà di stabilità, utili per problemi stiff; in particolare è A-stabile per l’equazione test
%|lineare.
%|Risposta modello — «Qual è la differenza tra Eulero esplicito e implicito?»
%|Eulero esplicito usa la pendenza nel punto noto t_(n),y_(n) e calcola subito lo stato successivo.
%|Eulero implicito usa invece la pendenza nel punto finale t_(n+1),y_(n+1) e richiede la soluzione di
%|un’equazione in cui compare il valore incognito. Entrambi sono metodi di ordine uno, ma la regione
%|di stabilità dell’implicito è molto più ampia, perciò può essere preferibile per equazioni rigide.
%|L’implicito è però più costoso per passo, perché comporta la risoluzione di un problema non lineare.
%@TOPIC 36
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Crank-Nicolson o trapezio implicito: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Si approssima l’integrale dell’EDO usando la media tra la pendenza iniziale e finale:
%|y_(n+1)=y_(n)+(h)/(2)[f(t_(n),y_(n))+f(t_(n+1),y_(n+1))].
%|Il metodo è implicito e di ordine globale 2 sotto adeguate ipotesi; l’errore di un passo è O(h^(3)).
%|È A-stabile per l’equazione test lineare, ma non L-stabile: per decadimenti molto rapidi può dare
%|oscillazioni numeriche del modo rigido.
%|Risposta modello — «Mi parli del metodo di Crank-Nicolson»
%|Crank-Nicolson approssima il problema di Cauchy applicando la formula dei trapezi all’integrale
%|della derivata tra due istanti. La variazione dello stato è descritta dalla media delle pendenze
%|all’inizio e alla fine del passo. Il metodo ha ordine globale due, maggiore dei due Eulero, ed è
%|implicito perché la nuova soluzione compare nella valutazione finale della funzione. Presenta buone
%|proprietà di stabilità, in particolare A-stabilità sul problema test lineare, ma richiede la
%|soluzione di un’equazione a ogni passo e non smorza sempre efficacemente le componenti numeriche
%|molto rigide.
%@TOPIC 37
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodo di Heun e predictor–corrector: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Una forma comune del metodo di Heun è il trapezio esplicito, costituito da una previsione e una
%|correzione:
%|k_(1)=f(t_(n),y_(n)),  y_(n+1)^(P)=y_(n)+hk_(1),
%|k_(2)=f(t_(n)+h,y_(n+1)^(P)),  y_(n+1)=y_(n)+(h)/(2)(k_(1)+k_(2)).
%|Si tratta di un Runge-Kutta esplicito a due stadi, di ordine globale 2 (errore di un passo
%|O(h^(3))). La previsione produce una stima provvisoria della soluzione; la correzione usa anche la
%|pendenza stimata al termine del passo. Predictor–corrector è un’idea generale: esistono anche
%|combinazioni con correttori impliciti e più iterazioni.
%|Risposta modello — «Come funziona il metodo di Heun?»
%|Il metodo di Heun migliora Eulero esplicito calcolando una media di due pendenze. La prima è
%|valutata nel punto corrente e produce una previsione esplicita dello stato successivo; la seconda si
%|calcola nel punto previsto. Lo stato definitivo si ottiene usando la media delle due pendenze. È
%|perciò interpretabile come un predictor–corrector, ma anche come un metodo Runge-Kutta esplicito a
%|due stadi. Nelle ipotesi standard ha ordine due, superiore a Eulero esplicito, ma la stabilità non è
%|illimitata e richiede due valutazioni della funzione per passo.
%@TOPIC 38
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Consistenza, errore locale, errore globale e convergenza: definizioni, formule,
%|ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Per un metodo a un passo scritto y_(n+1)=y_(n)+hΦ(t_(n),y_(n),h), la consistenza richiede, in
%|sostanza, che per h→0 la funzione di incremento recuperi la derivata esatta:
%|Φ(t,y,0)=f(t,y)
%|(se Φ è continua al passo nullo). Inserendo nel metodo la soluzione esatta si ricava il difetto
%|locale; per un metodo di ordine p il difetto non normalizzato per un singolo passo è generalmente
%|O(h^(p+1)), mentre l’errore globale è O(h^(p)) su un intervallo finito, in presenza di ipotesi di
%|stabilità e regolarità.
%|La zero-stabilità controlla la propagazione delle perturbazioni iniziali e degli errori quando il
%|passo tende a zero. Per i metodi multistep lineari è caratterizzata dalla condizione sulle radici
%|del polinomio caratteristico ρ(ζ): tutte |ζ|≤1 e quelle sul cerchio unitario semplici (condizione
%|delle radici). Per metodi lineari multistep ben definiti si ha il principio di equivalenza di
%|Dahlquist: consistenza + zero-stabilità ⇔ convergenza, sotto le ipotesi appropriate.
%|Nota sul linguaggio: alcuni testi chiamano errore di troncamento locale il difetto diviso per h, che
%|allora ha ordine O(h^(p)); altri il difetto non normalizzato O(h^(p+1)). All’esame conviene
%|dichiarare esplicitamente la convenzione.
%|Risposta modello — «Che differenza c’è fra consistenza, zero-stabilità e convergenza?»
%|Un metodo è consistente quando la formula discreta approssima correttamente l’equazione
%|differenziale al tendere del passo a zero. La consistenza riguarda l’errore locale introdotto in un
%|singolo passo, ipotizzando esatto il dato iniziale del passo. La zero-stabilità riguarda invece la
%|propagazione di perturbazioni e di errori durante l’evoluzione numerica. La convergenza significa
%|che l’approssimazione tende alla soluzione esatta quando il passo tende a zero, mantenendo fisso
%|l’intervallo temporale. Nei metodi multistep lineari, sotto le opportune ipotesi, consistenza e
%|zero-stabilità sono insieme necessarie e sufficienti per la convergenza; da sole, prese
%|separatamente, non bastano.
%@TOPIC 39
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Stabilità assoluta: equazione test y′=λy: definizioni, formule, ipotesi, proprieta
%|e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|La stabilità assoluta si studia spesso applicando il metodo all’equazione test:
%|y′=λy,  Re(λ)<0.
%|La soluzione esatta è y(t)=y_(0)e^(λ(t−t_(0))) e tende a zero. Il metodo produce una ricorrenza:
%|y_(n+1)=R(z)y_(n),  z=hλ,
%|con funzione di stabilità R(z). La regione di stabilità assoluta è S={z∈C:|R(z)|<1}, con condizioni
%|aggiuntive sui punti di bordo quando necessario.
%|Eulero esplicito:
%|R(z)=1+z,  |1+z|<1.
%|Sulla semiretta reale negativa, con λ<0: 0<h<2/|λ|.
%|Eulero implicito:
%|R(z)=(1)/(1−z),  |(1)/(1−z)|<1.
%|Crank-Nicolson:
%|R(z)=(1+z/2)/(1−z/2).
%|Heun:
%|R(z)=1+z+(z^(2))/(2).
%|Un metodo è A-stabile se l’intero semipiano Rez<0 appartiene alla regione di stabilità. Eulero
%|implicito e Crank-Nicolson sono A-stabili; Eulero esplicito e Heun non lo sono. La stabilità
%|assoluta non va confusa con la zero-stabilità.
%|Risposta modello — «Che cos’è la stabilità assoluta di un metodo per EDO?»
%|La stabilità assoluta misura la capacità di un metodo di riprodurre il decadimento di una dinamica
%|lineare stabile. Per studiarla si usa l’equazione test y′=λy con parte reale di λ negativa.
%|Applicando il metodo compare un fattore di amplificazione R(hλ): vogliamo che il suo modulo sia
%|minore di uno. Per Eulero esplicito il fattore è 1+hλ, quindi la stabilità impone restrizioni sul
%|passo; per Eulero implicito è 1/(1−hλ) e il metodo è A-stabile. Crank-Nicolson è anch’esso
%|A-stabile, mentre Heun, essendo esplicito, possiede una regione limitata. Questo concetto è
%|particolarmente rilevante nei problemi rigidi, dove un metodo esplicito può essere costretto a passi
%|molto più piccoli di quelli necessari per l’accuratezza.
%@TOPIC 40
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Problemi rigidi (stiff) e scelta del metodo [I contestuale]: definizioni, formule,
%|ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Un problema è detto stiff quando contiene scale temporali molto diverse e alcuni modi decadono
%|rapidamente: la stabilità dei metodi espliciti può imporre un passo assai più piccolo di quello
%|richiesto per rappresentare la dinamica di interesse. I metodi impliciti possono essere più
%|efficienti pur richiedendo sistemi da risolvere a ogni passo. Il concetto è collegato allo studio
%|della stabilità assoluta presente nel programma, ma i criteri esatti di rigidità dipendono dal
%|problema.
%@TOPIC 41
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Eulero adattivo e controllo del passo: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e
%|limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|L’idea dei metodi adattivi è variare il passo h_(n) in funzione di una stima dell’errore locale:
%|passi piccoli quando la soluzione cambia rapidamente e più grandi quando è regolare. Una tecnica
%|elementare usa il raddoppiamento dei passi: si confronta un passo di ampiezza h con due passi di
%|ampiezza h/2. Per un metodo di ordine p, con condizioni adeguate, la differenza consente una stima
%|dell’errore del passo.
%|Una legge ideale per il nuovo passo, se la stima E_(n) si comporta come Ch^(p+1), è:
%|h_(new)=ηh_(old)((tol)/(E_(n)))^(1/(p+1)),  0<η<1.
%|La costante η è un fattore di sicurezza. Per Eulero esplicito p=1 e l’esponente è 1/2 quando si
%|controlla il difetto di passo di ordine due. La formula è illustrativa: implementazioni pratiche
%|usano limiti al rapporto tra passi, normalizzazioni dell’errore e gestione dei passi respinti.
%|Risposta modello — «Che cosa significa passo adattivo?»
%|Un metodo a passo adattivo modifica automaticamente la distanza temporale tra due punti successivi
%|della griglia per rispettare una tolleranza di errore. L’algoritmo stima l’errore locale, ad esempio
%|confrontando un passo grande con due passi più piccoli. Se l’errore è superiore alla tolleranza,
%|riduce il passo e ripete il tentativo; se è molto inferiore, può aumentarlo. Questa strategia
%|permette di allocare le valutazioni della funzione dove sono più necessarie. Non elimina però i
%|vincoli di stabilità propri del metodo: un integratore esplicito adattivo può restare inefficiente
%|su problemi molto rigidi.
%@TOPIC 42
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodi di Runge-Kutta [P: cenni ai metodi di ordine elevato]: definizioni,
%|formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|I metodi Runge-Kutta avanzano di un passo combinando più valutazioni della funzione, chiamate stadi.
%|Per un RK esplicito a s stadi:
%|k_(i)=f(t_(n)+c_(i)h, y_(n)+h∑[j=1;i−1] a_(ij)k_(j)),  i=1,…,s,
%|y_(n+1)=y_(n)+h∑[i=1;s] b_(i)k_(i).
%|Il metodo classico RK4 usa:
%|k_(1)=f(t_(n),y_(n)),
%|k_(2)=f(t_(n)+h/2,y_(n)+hk_(1)/2),
%|k_(3)=f(t_(n)+h/2,y_(n)+hk_(2)/2),
%|k_(4)=f(t_(n)+h,y_(n)+hk_(3)),
%|y_(n+1)=y_(n)+(h)/(6)(k_(1)+2k_(2)+2k_(3)+k_(4)).
%|Il RK4 classico è di ordine globale 4 per problemi regolari, con errore locale di passo O(h^(5)).
%|Non è A-stabile essendo esplicito.
%|Risposta modello — «In che cosa consistono i metodi Runge-Kutta?»
%|I Runge-Kutta sono metodi a un passo che utilizzano più valutazioni della funzione del problema di
%|Cauchy per costruire una stima più accurata della variazione della soluzione nell’intervallo. Gli
%|stadi valutano pendenze in istanti e stati intermedi, poi le combinano con opportuni pesi. Heun è un
%|esempio di Runge-Kutta esplicito a due stadi e ordine due; il classico RK4 ne utilizza quattro e ha
%|ordine quattro. Il vantaggio è l’alta accuratezza senza richiedere valori di più passi precedenti.
%|Lo svantaggio è il maggior numero di valutazioni della funzione e, per i metodi espliciti, la
%|limitazione della regione di stabilità.
%@TOPIC 43
%|DOMANDA DI RIPASSO AGGIUNTA
%|DOMANDA: Illustra Metodi multistep e predictor–corrector [P: cenni]: definizioni, formule, ipotesi,
%|proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|I metodi multistep usano più valori già calcolati, per esempio:
%|∑[j=0;k] α_(j)y_(n+j)=h∑[j=0;k] β_(j)f(t_(n+j),y_(n+j)).
%|Se β_(k)=0 il metodo è esplicito; se β_(k)≠0 è generalmente implicito. I metodi multistep lineari
%|richiedono dati iniziali su più istanti, spesso ottenuti con un metodo a un passo. Le famiglie
%|comprendono Adams-Bashforth (espliciti), Adams-Moulton (impliciti) e formule di differenziazione
%|all’indietro (BDF) [I: esempi standard].
%|Esempio Adams-Bashforth a due passi:
%|y_(n+1)=y_(n)+(h)/(2)(3f(t_(n),y_(n))−f(t_(n−1),y_(n−1))).
%|Esempio Adams-Moulton a un passo (trapezio):
%|y_(n+1)=y_(n)+(h)/(2)[f(t_(n),y_(n))+f(t_(n+1),y_(n+1))].
%|L’accoppiamento di una previsione esplicita e una correzione implicita produce un procedimento
%|predictor–corrector. Il calendario indica questi argomenti come cenni: le formule particolari delle
%|varie famiglie sono quindi un approfondimento, non un elenco certo di formule richieste.
%|Risposta modello — «Che differenza c’è tra metodi a un passo e multistep?»
%|Un metodo a un passo usa il valore corrente e possibili valutazioni interne per produrre il passo
%|successivo. I metodi multistep utilizzano invece più valori precedenti della soluzione e della
%|funzione, in modo da sfruttare l’informazione già disponibile. Possono ottenere ordini di
%|accuratezza elevati con poche nuove valutazioni per passo, ma necessitano di una fase di avvio e
%|presentano condizioni specifiche di zero-stabilità. Possono essere espliciti o impliciti e prestarsi
%|ad accoppiamenti predictor–corrector. Nei metodi multistep è particolarmente importante verificare
%|la condizione sulle radici per garantire la zero-stabilità.
%|
%|Tracce d’esame svolte — risposte articolate secondo le richieste della docente
%|Origine delle tracce. Le prime cinque tracce sono ricostruite seguendo i cinque esempi elencati
%|nella pagina ufficiale delle modalità d’esame (2025/2026):
%|https://paola-gervasio.unibs.it/CS/modalita_esame.html. Le tracce successive sono ricostruite dai
%|PDF degli appelli del 12/07/2024, 17/01/2023 e 14/04/2023:
%|https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app120724.pdf,
%|https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app170123.pdf,
%|https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app140423.pdf. Il lessico delle domande è qui parafrasato e
%|le soluzioni sono originali, verificate matematicamente. Non si tratta di correzioni ufficiali. I
%|temi più vecchi sono utili per esercitarsi, ma possono includere metodi non previsti nel calendario
%|più recente.
%@TOPIC 44
%|TRACCIA RIPORTATA NELLA DISPENSA
%|DOMANDA: Illustra Traccia A — Eulero esplicito: a cosa serve, derivazione, ordine, zero-stabilità e
%|stabilità assoluta: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|1. Problema. Si vuole approssimare il problema di Cauchy y′(t)=f(t,y(t)), y(t_(0))=y_(0) su una
%|griglia t_(n)=t_(0)+nh. Un metodo numerico non restituisce necessariamente la funzione continua y(t)
%|ma valori discreti y_(n)≈y(t_(n)).
%|2. Derivazione. Lo sviluppo di Taylor della soluzione esatta nell’intorno di t_(n) dà:
%|y(t_(n)+h)=y(t_(n))+hy′(t_(n))+(h^(2))/(2)y″(ξ_(n))=y(t_(n))+hf(t_(n),y(t_(n)))+O(h^(2)).
%|Si trascura il termine O(h^(2)) e si sostituisce y(t_(n)) con y_(n):
%|y_(n+1)=y_(n)+hf(t_(n),y_(n)).
%|La formula è esplicita: il termine f(t_(n),y_(n)) è noto, quindi non occorre risolvere un’equazione
%|non lineare a ogni passo.
%|3. Consistenza e convergenza. Il difetto di passo introdotto partendo dal dato esatto è O(h^(2))
%|(oppure O(h) se si divide il difetto per h). Su un intervallo temporale fissato, sotto le consuete
%|ipotesi di regolarità e Lipschitz, l’errore globale è O(h): Eulero esplicito è di ordine 1.
%|Dimezzando h, in regime asintotico l’errore globale si dimezza approssimativamente.
%|4. Zero-stabilità. La zero-stabilità riguarda l’amplificazione di perturbazioni quando h→0 su un
%|intervallo fissato, non il decadimento dei modi con un passo arbitrario. Per l’equazione test y′=λy,
%|due esecuzioni differiscono di e_(n+1)=(1+hλ)e_(n). A t_(n)≤T, il prodotto |1+hλ|^(n) rimane
%|limitato uniformemente per h sufficientemente piccolo e n≃(T−t_(0))/h: il metodo è zero-stabile. Per
%|problemi generali con f Lipschitz, si ha una stima analoga (1+hL)^(n)≤e^(L(T−t_(0))).
%|5. Stabilità assoluta. Si applica il metodo all’equazione test y′=λy, Reλ<0. L’iterazione diventa:
%|y_(n+1)=(1+hλ)y_(n), R(z)=1+z, z=hλ.
%|La regione di assoluta stabilità è {z∈C:|1+z|<1}, disco aperto di centro −1 e raggio 1. Se λ<0 è
%|reale, la condizione è 0<h<2/|λ|. Per sistemi lineari y′=Ay con autovalori a parte reale negativa,
%|controlliamo che hλ_(j) appartenga alla regione per ogni autovalore. Non confondere zero-stabilità e
%|stabilità assoluta: Eulero è zero-stabile ma, fissato un passo troppo grande, può non essere
%|assolutamente stabile.
%|6. Pro e contro. Costa una valutazione di f per passo, è semplice da implementare ma è solo del
%|primo ordine e ha forti restrizioni sul passo per problemi stiff.
%|Risposta completa da scrivere. Il metodo di Eulero esplicito approssima la soluzione di un problema
%|di Cauchy su una griglia temporale. Si ottiene dallo sviluppo di Taylor della soluzione, sostituendo
%|la derivata con il termine noto f(t_(n),y_(n)) e trascurando i termini di ordine superiore:
%|y_(n+1)=y_(n)+hf(t_(n),y_(n)). Il metodo è consistente con errore locale non normalizzato O(h^(2))
%|e, con regolarità e stabilità appropriate, converge globalmente con ordine uno. È zero-stabile,
%|perché piccole perturbazioni dei dati non sono amplificate in modo illimitato al tendere del passo a
%|zero su intervalli finiti. La stabilità assoluta si valuta invece sull’equazione y′=λy: il fattore
%|di amplificazione è R(hλ)=1+hλ, che deve avere modulo minore di uno; nel caso di λ negativo reale si
%|impone 0<h<2/|λ|. Eulero esplicito è economico, ma per problemi rigidi il vincolo di stabilità rende
%|necessarie griglie molto fitte.
%@TOPIC 45
%|TRACCIA RIPORTATA NELLA DISPENSA
%|DOMANDA: Illustra Traccia B — Numero di condizionamento: definizione, ruolo e stime: definizioni,
%|formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|1. Definizione. Per A∈R^(n×n) invertibile e una norma matriciale indotta:
%|κ(A)=∥A∥ ∥A^(−1)∥.
%|Il numero dipende dalla norma; per la norma 2 è il rapporto tra il massimo e il minimo valore
%|singolare: κ_(2)(A)=σ_(max)(A)/σ_(min)(A). È sempre almeno uno; se A è singolare si considera
%|infinito.
%|2. Perturbazione del termine noto. Se Ax=b e A(x+Δx)=b+Δb, allora AΔx=Δb. Da ∥Δx∥≤∥A^(−1)∥∥Δb∥ e
%|∥b∥≤∥A∥∥x∥ segue:
%|(∥Δx∥)/(∥x∥)≤κ(A)(∥Δb∥)/(∥b∥)  (b≠0).
%|3. Legame fra residuo ed errore. Sia tilde(x) il vettore calcolato, r=b−Atilde(x) e e=x−tilde(x).
%|Poiché Ae=r:
%|(∥e∥)/(∥x∥)≤κ(A)(∥r∥)/(∥b∥).
%|Questa è la ragione per cui un residuo relativo piccolo può non bastare quando la matrice è mal
%|condizionata.
%|4. Perturbazioni della matrice. Se (A+ΔA)(x+Δx)=b+Δb e ∥A^(−1)ΔA∥<1, si ricava la stima generale:
%|(∥Δx∥)/(∥x∥)≤(κ(A))/(1−κ(A)δ_(A))(δ_(A)+δ_(b)), δ_(A)=(∥ΔA∥)/(∥A∥), δ_(b)=(∥Δb∥)/(∥b∥),
%|purché κ(A)δ_(A)<1 e b≠0. È una stima a priori sulla sensibilità della soluzione.
%|5. Interpretazione. Condizionamento alto è una proprietà del problema, non necessariamente un
%|difetto del metodo. Un algoritmo stabile applicato a un sistema mal condizionato può comunque
%|produrre un errore significativo. Il condizionamento spiega anche il comportamento dei metodi
%|iterativi e il rischio delle equazioni normali per minimi quadrati: κ_(2)(A^(T)A)=κ_(2)(A)^(2) se A
%|ha rango di colonna completo.
%|Risposta completa da scrivere. Il numero di condizionamento di una matrice invertibile è il prodotto
%|delle norme della matrice e della sua inversa. Misura la sensibilità della soluzione del sistema
%|Ax=b a perturbazioni dei dati. Se il numero è elevato, piccoli errori di arrotondamento o nei dati
%|possono essere amplificati nella soluzione. Esso interviene nella stima dell’errore relativo dovuto
%|a perturbazioni di b e nella stima a posteriori che lega il residuo relativo all’errore relativo
%|della soluzione. È quindi scorretto identificare automaticamente un residuo piccolo con una
%|soluzione accurata. Il condizionamento dipende dal problema matematico, mentre la stabilità numerica
%|dipende dall’algoritmo impiegato.
%@TOPIC 46
%|TRACCIA RIPORTATA NELLA DISPENSA
%|DOMANDA: Illustra Traccia C — Lagrange globale: due basi, errori, nodi e applicazioni: definizioni,
%|formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|1. Problema. Dati n+1 nodi distinti x_(0),…,x_(n) e valori y_(i)=f(x_(i)), si cerca un polinomio
%|p_(n)∈P_(n) tale che p_(n)(x_(i))=y_(i). Tale interpolatore esiste ed è unico.
%|2. Base dei monomi. Si scrive:
%|p_(n)(x)=a_(0)+a_(1)x+⋯+a_(n)x^(n).
%|Imponendo i vincoli nei nodi otteniamo il sistema di Vandermonde Va=y, con V_(ij)=x_(i)^(j) (indici
%|da 0 a n). I coefficienti a_(j) si trovano risolvendo il sistema lineare. Anche se V è invertibile
%|per nodi distinti, può essere numericamente mal condizionata.
%|3. Base di Lagrange. Definiamo:
%|L_(i)(x)=∏[0≤j≤n; j≠i;​] (x−x_(j))/(x_(i)−x_(j)),  L_(i)(x_(j))=δ_(ij).
%|La rappresentazione è:
%|p_(n)(x)=∑[i=0;n] y_(i)L_(i)(x).
%|I coefficienti nella base di Lagrange sono direttamente y_(i); il lavoro è invece calcolare e
%|valutare le funzioni di base. Nella base monomiale occorre risolvere un sistema per trovare i
%|coefficienti.
%|4. Errore di interpolazione. Se f∈C^(n+1)([a,b]), per x∈[a,b] esiste ξ_(x) tale che:
%|f(x)−p_(n)(x)=(f^((n+1))(ξ_(x)))/((n+1)!)∏[i=0;n] (x−x_(i)).
%|La scelta dei nodi è decisiva. Aumentare il grado con nodi equispaziati non garantisce convergenza
%|uniforme: può comparire il fenomeno di Runge, con grandi oscillazioni ai bordi. Alternative: nodi di
%|Chebyshev e interpolazione composita a basso grado. Le spline cubiche controllano la regolarità tra
%|intervalli.
%|5. Applicazioni nel corso. Le formule di quadratura interpolatorie si ottengono integrando p_(n);
%|differenze finite si ricavano derivando un interpolante locale; l’interpolazione è utile per
%|approssimare funzioni e dati misurati.
%|Risposta completa da scrivere. L’interpolazione di Lagrange consiste nel costruire l’unico polinomio
%|di grado al più n che passa per n+1 punti con ascisse distinte. Nella base monomiale il polinomio ha
%|coefficienti incogniti e questi si determinano risolvendo un sistema di Vandermonde. Nella base di
%|Lagrange, invece, il polinomio si ottiene come combinazione delle funzioni cardinali L_(i), che
%|valgono uno nel nodo associato e zero negli altri: i coefficienti sono immediatamente i dati y_(i).
%|L’errore dipende dalla derivata (n+1)-esima della funzione e dal prodotto delle distanze dai nodi. I
%|nodi equispaziati possono produrre oscillazioni e mancata convergenza, soprattutto per gradi
%|elevati; per evitarlo si scelgono nodi più adatti oppure interpolanti a tratti. L’interpolazione
%|costituisce la base delle formule di quadratura e di derivazione numerica.
%@TOPIC 47
%|TRACCIA RIPORTATA NELLA DISPENSA
%|DOMANDA: Illustra Traccia D — Fattorizzazione LU: ipotesi, costo, confronto con Gauss: definizioni,
%|formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|1. Scopo e principio. Risolvere ripetutamente Ax=b, con A quadrata, scrivendo A=LU, dove L è
%|triangolare inferiore con diagonale unitaria e U superiore. La costruzione corrisponde a memorizzare
%|i moltiplicatori dell’eliminazione di Gauss.
%|2. Ipotesi. Senza pivotazione, la procedura richiede pivot non nulli durante l’eliminazione; una
%|condizione sufficiente classica è la non-nullità di tutti i minori principali di testa. Con
%|pivotazione parziale si impiega PA=LU, con P matrice di permutazione, per matrici non singolari; gli
%|scambi migliorano anche la robustezza numerica.
%|3. Applicazione al sistema. Con PA=LU, il sistema diventa LUx=Pb. Si risolve prima Ly=Pb con
%|sostituzione in avanti, quindi Ux=y con sostituzione all’indietro. Sono due problemi triangolari di
%|costo O(n^(2)) ciascuno.
%|4. Costo. Per matrici dense n×n, la fattorizzazione/eliminazione richiede circa (2/3)n^(3)
%|operazioni in virgola mobile (flop) al termine dominante, mentre per risolvere i due sistemi
%|triangolari servono circa 2n^(2) flop complessivi. Un Gauss completo per un solo termine noto ha
%|anch’esso costo cubico dominante e LU non è magicamente più rapida su un unico sistema: la vera
%|convenienza nasce con m termini noti. Gauss eseguito da zero m volte costa circa m(2/3)n^(3), mentre
%|LU precomputata costa circa (2/3)n^(3)+2mn^(2).
%|5. Confronto e limiti. LU e Gauss non sono tecniche indipendenti: LU è la forma fattorizzata
%|dell’eliminazione, conveniente per sistemi ripetuti, determinante e calcolo di inverse per colonne.
%|Con grandi matrici sparse bisogna inoltre considerare fill-in e memoria. Se A è simmetrica definita
%|positiva, Cholesky sfrutta meglio la struttura.
%|Risposta completa da scrivere. La fattorizzazione LU trasforma una matrice quadrata nel prodotto di
%|due matrici triangolari, consentendo di risolvere un sistema tramite due sostituzioni. Nasce
%|dall’eliminazione di Gauss: nella matrice L si conservano i moltiplicatori e in U i coefficienti del
%|sistema triangolare. Per una LU senza scambi non devono annullarsi i pivot; se sono necessari scambi
%|di riga si scrive PA=LU. Il costo della fattorizzazione per matrici dense è circa due terzi di n^(3)
%|flop, mentre ogni successiva soluzione con nuovo termine noto costa soltanto circa 2n^(2) flop. Non
%|è quindi sensibilmente più conveniente rispetto a Gauss quando il sistema è uno solo, ma risulta
%|molto vantaggiosa quando la matrice rimane identica e cambiano i termini noti.
%@TOPIC 48
%|TRACCIA RIPORTATA NELLA DISPENSA
%|DOMANDA: Illustra Traccia E — Simpson semplice e composito: ricavare formula, errore, grado:
%|definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|1. Derivazione della formula semplice. Sul segmento [a,b], con m=(a+b)/2 e H=b−a, si interpola f con
%|il polinomio quadratico nei tre nodi a,m,b. Integrando i tre polinomi di base di Lagrange, si
%|ottengono i pesi H/6, 4H/6, H/6:
%|S(f)=∫[a;b] p_(2)(x) dx=(H)/(6)[f(a)+4f(m)+f(b)].
%|Si usa anche la notazione H=2h, con h=(b−a)/2, allora S(f)=(h)/(3)[f(a)+4f(m)+f(b)].
%|2. Tipologia ed esattezza. Simpson è interpolatoria chiusa: usa i due estremi. Nonostante interpoli
%|con un polinomio di grado 2, è esatta anche per i polinomi cubici per ragioni di simmetria. Quindi
%|il suo grado di esattezza è 3.
%|3. Resto della formula semplice. Se f∈C^(4)([a,b]), per un certo ξ∈(a,b) vale:
%|∫[a;b] f(x) dx−S(f)=−((b−a)^(5))/(2880)f^((4))(ξ).
%|La stima in valore assoluto usa il massimo della quarta derivata su [a,b].
%|4. Simpson composito. Si suddivide [a,b] in N sottointervalli di ampiezza h=(b−a)/N con N pari, cioè
%|in N/2 pannelli, ciascuno formato da due sottointervalli. Per x_(i)=a+ih:
%|S_(N)(f)=(h)/(3)[f(x_(0))+f(x_(N))+4∑[i dispari;​] f(x_(i))+2∑[i pari; 2≤i≤N−2;​] f(x_(i))].
%|L’errore globale è:
%||∫[a;b] f−S_(N)(f)|≤(b−a)/(180)h^(4)max_{x∈[a,b]}|f^((4))(x)|.
%|5. Ordini e confronti. Con regolarità sufficiente, Simpson composito ha ordine globale 4, mentre
%|trapezi e punto medio compositi hanno ordine globale 2. Grado di esattezza (3) e ordine di
%|convergenza composito (4) non sono la stessa nozione. Per ottenere una tolleranza ε, una stima
%|sufficiente è h≤(180ε/((b−a)M_(4)))^(1/4), con M_(4)=max|f^((4))|, adattando N=(b−a)/h al successivo
%|intero pari.
%|Risposta completa da scrivere. La formula di Simpson è una formula di quadratura interpolatoria,
%|ottenuta sostituendo la funzione da integrare con il polinomio quadratico che ne interpola i valori
%|agli estremi e nel punto medio dell’intervallo. Integrando le funzioni cardinali si ricavano i pesi
%|uno, quattro, uno e quindi S(f)=(b−a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6. È una formula chiusa e il grado di
%|esattezza è tre: integra esattamente tutti i polinomi fino al grado tre. L’errore della formula
%|semplice dipende dalla derivata quarta e da (b−a)^(5). Per la versione composita si suddivide
%|l’intervallo in un numero pari di sottointervalli e si applica Simpson a coppie, ottenendo i pesi
%|alternati quattro e due. La stima dell’errore globale è proporzionale a h^(4), quindi l’ordine di
%|accuratezza composito è quattro. Rispetto ai trapezi, a parità di regolarità, Simpson può
%|raggiungere una precisione assegnata con meno nodi.
%@TOPIC 49
%|TRACCIA RIPORTATA NELLA DISPENSA
%|DOMANDA: Illustra Traccia F — Newton e secanti: formulazione, analogie, scelta iniziale, arresto e
%|convergenza: definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Origine. Due metodi messi direttamente a confronto nelle domande teoriche dell’appello del
%|12/07/2024; Newton isolato in una delle domande del 17/01/2023.
%|1. Scopo. Cercare uno zero α di f tale che f(α)=0. Si tratta di metodi aperti: non mantengono per
%|costruzione una radice racchiusa in un intervallo con cambio di segno.
%|2. Newton. Linearizzando in x_(k) e annullando la retta tangente:
%|x_(k+1)=x_(k)−(f(x_(k)))/(f′(x_(k))).
%|Serve f′(x_(k))≠0. Per radici semplici e f∈C^(2) nell’intorno, con x_(0) vicino a α, la convergenza
%|è localmente quadratica. Il punto iniziale si sceglie sfruttando grafico, informazioni sul segno,
%|derivata, monotonia e posizione delle radici. Nessuna regola semplice è garanzia globale in ogni
%|caso.
%|3. Secanti. Approssimando f′ con la differenza divisa:
%|x_(k+1)=x_(k)−f(x_(k))(x_(k)−x_(k−1))/(f(x_(k))−f(x_(k−1))).
%|Richiede due valori iniziali, non necessita di derivata, e per radici semplici ha ordine locale
%|circa 1.618; i denominatori devono restare non nulli.
%|4. Test d’arresto. Errori veri non sono disponibili perché α è ignota. È utile considerare sia
%|incremento che residuo, ad esempio |x_(k+1)−x_(k)|≤tol_(x) e |f(x_(k+1))|≤tol_(f), con opportune
%|normalizzazioni. Se invece viene richiesto un unico test, il residuo verifica direttamente la bontà
%|dell’equazione, ma può essere piccolo anche lontano dalla radice in problemi mal condizionati;
%|l’incremento può essere piccolo in caso di stagnazione. Se possibile, verificare entrambi e
%|impostare k_(max).
%|5. Radici multiple e limiti. Newton standard perde di norma la convergenza quadratica su una radice
%|di molteplicità m>1 e converge linearmente con fattore (m−1)/m. Newton modificato
%|x_(k+1)=x_(k)−mf(x_(k))/f′(x_(k)), quando m è nota, può ripristinare il comportamento quadratico. A
%|differenza della bisezione, Newton e secanti non hanno una garanzia di convergenza globale generica.
%|Risposta completa da scrivere. I metodi di Newton e delle secanti sono algoritmi iterativi per
%|approssimare gli zeri di equazioni non lineari. Newton usa la tangente al grafico di f nel punto
%|corrente e ricava l’approssimazione successiva dall’intersezione con l’asse delle ascisse, tramite
%|x_(k+1)=x_(k)−f(x_(k))/f′(x_(k)). Il metodo delle secanti sostituisce la derivata con una differenza
%|divisa calcolata su due iterate e quindi evita il calcolo di f′. Per una radice semplice, regolarità
%|sufficiente e inizializzazione vicina alla radice, Newton è quadraticamente convergente e le secanti
%|sono superlineari, di ordine circa 1.618. Entrambi possono fallire con punti iniziali sfavorevoli o
%|denominatori nulli. Poiché l’errore esatto non è noto, l’arresto pratico si basa sul residuo e/o
%|sull’incremento, insieme a un limite massimo di iterazioni; è bene ricordare che un residuo piccolo
%|non garantisce in generale errore piccolo.
%@TOPIC 50
%|TRACCIA RIPORTATA NELLA DISPENSA
%|DOMANDA: Illustra Traccia G — Metodi diretti e iterativi per sistemi lineari: quale scegliere?:
%|definizioni, formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|Origine. Domanda di teoria nell’appello del 14/04/2023.
%|1. Metodi diretti. Eliminazione di Gauss, LU, Cholesky, QR producono, in aritmetica esatta e se
%|applicabili, la soluzione in un numero finito di operazioni senza un criterio di arresto iterativo.
%|Sono caratterizzati dalla fattorizzazione/eliminazione e richiedono normalmente O(n^(3)) operazioni
%|per matrici dense quadrate.
%|2. Metodi iterativi. Partono da x_(0) e costruiscono approssimazioni x_(1),x_(2),… monitorando un
%|residuo. Gradiente e gradiente coniugato sono stati trattati per matrici simmetriche definite
%|positive; richiedono soprattutto prodotti matrice-vettore e possono sfruttare la sparsità.
%|3. Quando scegliere. Diretti: dimensioni moderate, molteplici termini noti, richiesta di elevata
%|robustezza e fattorizzazione gestibile in memoria. Iterativi: grandi sistemi sparsi, memoria
%|limitata, buona struttura spettrale, richiesta di accuratezza moderata, eventuale precondizionatore;
%|il vantaggio dipende dalle iterazioni necessarie e dal costo di ogni prodotto Ax.
%|4. Esempio diretto da illustrare. Gauss trasforma il sistema in uno triangolare tramite eliminazione
%|e poi applica sostituzione all’indietro. La pivotazione parziale riduce i problemi dovuti a pivot
%|nulli o piccoli. Alternativamente, LU con pivotazione fattorizza PA=LU e risolve due sistemi
%|triangolari; con matrice simmetrica definita positiva è disponibile Cholesky A=LL^(T).
%|5. Confronto teorico. Non esiste una regola assoluta «iterativo sempre più veloce». Con matrici
%|sparse, i diretti possono creare fill-in; gli iterativi evitano fattorizzazioni, ma un
%|condizionamento sfavorevole può rallentarli. Per i metodi del gradiente la matrice simmetrica
%|definita positiva è un’ipotesi fondamentale.
%|Risposta completa da scrivere. I metodi diretti per Ax=b, come Gauss, LU e Cholesky, cercano la
%|soluzione attraverso una sequenza finita di operazioni algebriche, spesso trasformando il sistema in
%|sistemi triangolari. I metodi iterativi, come il gradiente e il gradiente coniugato, generano
%|approssimazioni successive a partire da un punto iniziale e si fermano quando il residuo soddisfa un
%|criterio. I diretti sono spesso preferibili su matrici dense di dimensioni moderate o quando si
%|risolve ripetutamente il sistema con la stessa matrice e termini noti diversi. Gli iterativi sono
%|particolarmente interessanti per grandi matrici sparse, perché richiedono memoria contenuta e
%|sfruttano il prodotto matrice-vettore, anche se il condizionamento può influire sulla velocità di
%|convergenza. Una tecnica diretta esemplare è la fattorizzazione LU con pivotazione PA=LU, seguita
%|dalla soluzione di due sistemi triangolari.
%@TOPIC 51
%|TRACCIA RIPORTATA NELLA DISPENSA
%|DOMANDA: Illustra Traccia H — Risposte brevi e mirate a possibili sottodomande: definizioni,
%|formule, ipotesi, proprieta e limiti.
%|
%|RISPOSTA:
%|«Come mai una matrice di Vandermonde può creare problemi?» Perché al crescere del grado e per scelte
%|sfavorevoli dei nodi diventa mal condizionata; l’esistenza algebrica del polinomio interpolatore non
%|ne garantisce una valutazione numericamente stabile nella base dei monomi. Si possono scegliere basi
%|migliori e nodi adeguati.
%|«Che differenza c’è fra errore d’interpolazione e errore di arrotondamento?» Il primo dipende dalla
%|funzione e dalla scelta dei nodi/ordine; il secondo dall’algoritmo e dalla precisione macchina. Una
%|base numericamente instabile può far prevalere l’errore di arrotondamento anche se la formula
%|teorica dell’interpolazione è accurata.
%|«Perché il gradiente coniugato è spesso più veloce del gradiente semplice?» Perché costruisce
%|direzioni A-coniugate che evitano di riottimizzare lungo direzioni già percorse, mentre il gradiente
%|tende a zigzagare in problemi mal condizionati. CG per A simmetrica definita positiva termina in al
%|più n passi soltanto in aritmetica esatta.
%|«Se il numero di condizionamento è alto, basta diminuire il residuo?» Non sempre. La relazione
%|∥e∥/∥x∥≤κ(A)∥r∥/∥b∥ mostra quanto severo debba essere il residuo relativo per garantire un certo
%|errore relativo.
%|«Perché Simpson usa tre nodi ma ha grado di esattezza 3?» Per la simmetria dei nodi e dei pesi, che
%|rende nullo il contributo degli errori sui termini cubici; l’interpolante costruito è quadratico, ma
%|la formula integrale è esatta anche sui cubici.
%|«Una soluzione con passo più piccolo è sempre più accurata?» Non necessariamente, perché
%|l’arrotondamento può diventare rilevante e soprattutto perché un passo che soddisfa la precisione
%|non implica automaticamente la stabilità per metodi espliciti; bisogna verificare entrambe le
%|condizioni.
%|«Come applicare la stabilità assoluta a un sistema di EDO?» Per y′=Ay si valutano gli autovalori
%|λ_(j) della matrice e si richiede hλ_(j) nella regione di stabilità del metodo. Per matrici non
%|normali possono esserci anche effetti transitori non descritti dal solo spettro.
%|«Perché l’errore locale e l’errore globale hanno un ordine diverso?» Nel calcolo su O(1/h) passi il
%|difetto locale di ordine O(h^(p+1)) può accumularsi, dando tipicamente errore globale O(h^(p)) sotto
%|ipotesi di stabilità; ciò non autorizza a moltiplicare errori senza controllare il loro trasporto.
%@TOPIC 52
%|DOMANDA (riformulata): Definisci il condizionamento e spiega le stime in cui interviene.
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app170123.pdf ; Domanda 1
%|RISPOSTA:
%|Dato un sistema quadrato Ax=b, A∈R^(n×n), le seguenti condizioni sono equivalenti: A invertibile;
%|detA≠0; rango n; il sistema omogeneo Ax=0 ha solo soluzione nulla; per ogni b la soluzione è unica.
%|Il sistema può nascere da modelli fisici, discretizzazione di equazioni, ottimizzazione e Newton per
%|sistemi non lineari.
%|Norme matriciali indotte:
%|∥A∥=max_{x≠0}(∥Ax∥)/(∥x∥), ∥A∥_(∞)=max_{i}∑[j;​] |a_(ij)|, ∥A∥_(1)=max_{j}∑[i;​] |a_(ij)|.
%|Per matrice invertibile il numero di condizionamento, rispetto alla norma scelta, è:
%|κ(A)=∥A∥ ∥A^(−1)∥≥1.
%|Se tilde(x) è approssimazione e r=b−Atilde(x) è il residuo, allora x−tilde(x)=A^(−1)r, perciò:
%|∥x−tilde(x)∥≤∥A^(−1)∥ ∥r∥.
%|Inoltre, con b=Ax≠0:
%|(∥x−tilde(x)∥)/(∥x∥)≤κ(A)(∥r∥)/(∥b∥).
%|Il residuo piccolo non basta a garantire errore relativo piccolo quando κ(A) è grande. Per una
%|perturbazione solo nel termine noto A(x+Δx)=b+Δb:
%|(∥Δx∥)/(∥x∥)≤κ(A)(∥Δb∥)/(∥b∥).
%|Interpretazione: il condizionamento appartiene al problema, non al metodo scelto per risolverlo. La
%|presenza di errori di arrotondamento rende importante usare algoritmi stabili.
%|Risposta modello — «Mi spieghi il numero di condizionamento di una matrice»
%|Un sistema lineare quadrato Ax=b ammette una soluzione unica se e solo se A è non singolare. Il
%|numero di condizionamento κ(A)=∥A∥∥A^(−1)∥ quantifica quanto la soluzione può essere sensibile a
%|piccole perturbazioni dei dati. Se è vicino a uno, il problema è relativamente ben condizionato; se
%|è molto grande, anche piccole variazioni possono produrre errori importanti. Il residuo
%|r=b−Atilde(x) permette di misurare quanto bene la soluzione approssimata soddisfa le equazioni, ma
%|un residuo piccolo non garantisce da solo una soluzione accurata: il legame con l’errore relativo
%|coinvolge proprio il numero di condizionamento. Per questo condizionamento e stabilità
%|dell’algoritmo devono essere valutati separatamente.
%|
%|1. Definizione. Per A∈R^(n×n) invertibile e una norma matriciale indotta:
%|κ(A)=∥A∥ ∥A^(−1)∥.
%|Il numero dipende dalla norma; per la norma 2 è il rapporto tra il massimo e il minimo valore
%|singolare: κ_(2)(A)=σ_(max)(A)/σ_(min)(A). È sempre almeno uno; se A è singolare si considera
%|infinito.
%|2. Perturbazione del termine noto. Se Ax=b e A(x+Δx)=b+Δb, allora AΔx=Δb. Da ∥Δx∥≤∥A^(−1)∥∥Δb∥ e
%|∥b∥≤∥A∥∥x∥ segue:
%|(∥Δx∥)/(∥x∥)≤κ(A)(∥Δb∥)/(∥b∥)  (b≠0).
%|3. Legame fra residuo ed errore. Sia tilde(x) il vettore calcolato, r=b−Atilde(x) e e=x−tilde(x).
%|Poiché Ae=r:
%|(∥e∥)/(∥x∥)≤κ(A)(∥r∥)/(∥b∥).
%|Questa è la ragione per cui un residuo relativo piccolo può non bastare quando la matrice è mal
%|condizionata.
%|4. Perturbazioni della matrice. Se (A+ΔA)(x+Δx)=b+Δb e ∥A^(−1)ΔA∥<1, si ricava la stima generale:
%|(∥Δx∥)/(∥x∥)≤(κ(A))/(1−κ(A)δ_(A))(δ_(A)+δ_(b)), δ_(A)=(∥ΔA∥)/(∥A∥), δ_(b)=(∥Δb∥)/(∥b∥),
%|purché κ(A)δ_(A)<1 e b≠0. È una stima a priori sulla sensibilità della soluzione.
%|5. Interpretazione. Condizionamento alto è una proprietà del problema, non necessariamente un
%|difetto del metodo. Un algoritmo stabile applicato a un sistema mal condizionato può comunque
%|produrre un errore significativo. Il condizionamento spiega anche il comportamento dei metodi
%|iterativi e il rischio delle equazioni normali per minimi quadrati: κ_(2)(A^(T)A)=κ_(2)(A)^(2) se A
%|ha rango di colonna completo.
%|Risposta completa da scrivere. Il numero di condizionamento di una matrice invertibile è il prodotto
%|delle norme della matrice e della sua inversa. Misura la sensibilità della soluzione del sistema
%|Ax=b a perturbazioni dei dati. Se il numero è elevato, piccoli errori di arrotondamento o nei dati
%|possono essere amplificati nella soluzione. Esso interviene nella stima dell’errore relativo dovuto
%|a perturbazioni di b e nella stima a posteriori che lega il residuo relativo all’errore relativo
%|della soluzione. È quindi scorretto identificare automaticamente un residuo piccolo con una
%|soluzione accurata. Il condizionamento dipende dal problema matematico, mentre la stabilità numerica
%|dipende dall’algoritmo impiegato.
%@TOPIC 53
%|DOMANDA (riformulata): Spiega Newton, scelta iniziale, convergenza e arresto.
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app170123.pdf ; Domanda 2
%|RISPOSTA:
%|Si parte da x_(0) e si sostituisce localmente f con la sua linearizzazione:
%|f(x_(k)+s)≈f(x_(k))+f′(x_(k))s.
%|Imponendo che l’approssimazione lineare sia nulla e assumendo f′(x_(k))≠0:
%|x_(k+1)=x_(k)−(f(x_(k)))/(f′(x_(k))).
%|Interpretazione geometrica: x_(k+1) è l’intersezione con l’asse orizzontale della tangente al
%|grafico nel punto (x_(k),f(x_(k))).
%|Convergenza locale. Se f è abbastanza regolare (ad esempio C^(2) in un intorno della radice), f(α)=0
%|e f′(α)≠0, allora a partire da x_(0) sufficientemente vicino il metodo converge quadraticamente:
%|e_(k+1)=(f″(α))/(2f′(α))e_(k)^(2)+o(e_(k)^(2)).
%|Se f″(α)=0, il termine dominante può avere ordine superiore. La formula richiede che f′(x_(k)) non
%|sia nullo durante l’iterazione. Un punto iniziale poco favorevole può provocare oscillazioni,
%|divergenza o convergenza a un’altra radice.
%|Radici multiple. Se f(x)=(x−α)^(m)q(x), q(α)≠0, m>1, Newton standard è tipicamente soltanto lineare,
%|con fattore asintotico (m−1)/m. Se la molteplicità è nota:
%|x_(k+1)=x_(k)−m(f(x_(k)))/(f′(x_(k)))
%|ripristina sotto adeguate ipotesi la convergenza quadratica locale. [L/I: il laboratorio analizza le
%|radici multiple e usa anche Newton modificato.]
%|Risposta modello — «Mi parli di Newton per il calcolo delle radici»
%|Newton è un metodo iterativo per risolvere f(x)=0. A partire da un punto iniziale sostituisce la
%|funzione con la tangente, cioè con lo sviluppo di Taylor al primo ordine. Ponendo uguale a zero la
%|retta si ricava l’aggiornamento x_(k+1)=x_(k)−f(x_(k))/f′(x_(k)). Per una radice semplice, con
%|funzione sufficientemente regolare e punto iniziale sufficientemente vicino, il metodo converge
%|localmente con ordine quadratico: l’errore al passo successivo è proporzionale al quadrato di quello
%|precedente. È quindi molto rapido nella fase finale. Rispetto alla bisezione non richiede di
%|racchiudere la radice in un intervallo con cambiamento di segno, ma necessita del calcolo della
%|derivata e non garantisce la convergenza globale. In presenza di una radice multipla Newton standard
%|perde generalmente l’ordine quadratico; se conosco la molteplicità posso utilizzare Newton
%|modificato.
%|
%|Poiché α non è noto, l’errore |x_(k)−α| non è direttamente calcolabile. Si usano ad esempio:
%||x_(k+1)−x_(k)|≤tol_(x),  |f(x_(k+1))|≤tol_(f),
%|oppure il criterio relativo sull’incremento:
%|(|x_(k+1)−x_(k)|)/(max(1,|x_(k+1)|))≤tol.
%|Cautela: un incremento piccolo può derivare da stagnazione; un residuo piccolo non garantisce errore
%|piccolo se |f′(α)| è piccolo. Localmente, per una radice semplice:
%||x−α|≈(|f(x)|)/(|f′(α)|).
%|Affiancare un limite k_(max) per evitare cicli indefiniti e testare eventuali derivate o
%|denominatori molto piccoli.
%@TOPIC 54
%|DOMANDA (riformulata): Dati, basi monomiale e di Lagrange, scelta dei nodi e applicazioni.
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app140423.pdf ; Domanda 1
%|RISPOSTA:
%|Dati n+1 nodi distinti x_(0),…,x_(n) e valori y_(i)=f(x_(i)), esiste un unico polinomio p_(n) di
%|grado al più n tale che p_(n)(x_(i))=y_(i). Nella forma di Lagrange:
%|p_(n)(x)=∑[i=0;n] y_(i)L_(i)(x),  L_(i)(x)=∏[j=0; j≠i;n] (x−x_(j))/(x_(i)−x_(j)).
%|Le funzioni fondamentali soddisfano L_(i)(x_(j))=δ_(ij), che garantisce l’interpolazione. L’unicità
%|deriva dal fatto che la differenza fra due polinomi di grado ≤n che si annullano in n+1 nodi
%|distinti è identicamente nulla.
%|Resto dell’interpolazione. Se f∈C^(n+1)([a,b]) e x appartiene all’intervallo che contiene i nodi,
%|esiste ξ_(x) tale che:
%|f(x)−p_(n)(x)=(f^((n+1))(ξ_(x)))/((n+1)!)∏[i=0;n] (x−x_(i)).
%|Il resto dipende sia dalle derivate di f sia dalla distribuzione dei nodi. L’interpolazione non
%|migliora necessariamente aumentando il grado su nodi equispaziati: può comparire il fenomeno di
%|Runge, con oscillazioni soprattutto agli estremi. Nodi di Chebyshev mitigano il problema [I].
%|Risposta modello — «Mi parli dell’interpolazione di Lagrange»
%|L’interpolazione polinomiale di Lagrange costruisce un polinomio di grado al più n che assume
%|esattamente i valori assegnati in n+1 nodi distinti. Il polinomio è espresso come somma dei dati
%|moltiplicati per i polinomi fondamentali L_(i), ciascuno dei quali vale uno nel proprio nodo e zero
%|negli altri. Il polinomio esiste ed è unico. L’errore è espresso tramite la derivata di ordine n+1
%|della funzione e il prodotto delle distanze dai nodi; quindi dipende dalla regolarità della funzione
%|e dalla scelta dei nodi. Con molti nodi equispaziati si possono avere forti oscillazioni, perciò in
%|pratica spesso conviene ricorrere a interpolazione composita o spline.
%|
%|1. Problema. Dati n+1 nodi distinti x_(0),…,x_(n) e valori y_(i)=f(x_(i)), si cerca un polinomio
%|p_(n)∈P_(n) tale che p_(n)(x_(i))=y_(i). Tale interpolatore esiste ed è unico.
%|2. Base dei monomi. Si scrive:
%|p_(n)(x)=a_(0)+a_(1)x+⋯+a_(n)x^(n).
%|Imponendo i vincoli nei nodi otteniamo il sistema di Vandermonde Va=y, con V_(ij)=x_(i)^(j) (indici
%|da 0 a n). I coefficienti a_(j) si trovano risolvendo il sistema lineare. Anche se V è invertibile
%|per nodi distinti, può essere numericamente mal condizionata.
%|3. Base di Lagrange. Definiamo:
%|L_(i)(x)=∏[0≤j≤n; j≠i;​] (x−x_(j))/(x_(i)−x_(j)),  L_(i)(x_(j))=δ_(ij).
%|La rappresentazione è:
%|p_(n)(x)=∑[i=0;n] y_(i)L_(i)(x).
%|I coefficienti nella base di Lagrange sono direttamente y_(i); il lavoro è invece calcolare e
%|valutare le funzioni di base. Nella base monomiale occorre risolvere un sistema per trovare i
%|coefficienti.
%|4. Errore di interpolazione. Se f∈C^(n+1)([a,b]), per x∈[a,b] esiste ξ_(x) tale che:
%|f(x)−p_(n)(x)=(f^((n+1))(ξ_(x)))/((n+1)!)∏[i=0;n] (x−x_(i)).
%|La scelta dei nodi è decisiva. Aumentare il grado con nodi equispaziati non garantisce convergenza
%|uniforme: può comparire il fenomeno di Runge, con grandi oscillazioni ai bordi. Alternative: nodi di
%|Chebyshev e interpolazione composita a basso grado. Le spline cubiche controllano la regolarità tra
%|intervalli.
%|5. Applicazioni nel corso. Le formule di quadratura interpolatorie si ottengono integrando p_(n);
%|differenze finite si ricavano derivando un interpolante locale; l’interpolazione è utile per
%|approssimare funzioni e dati misurati.
%|Risposta completa da scrivere. L’interpolazione di Lagrange consiste nel costruire l’unico polinomio
%|di grado al più n che passa per n+1 punti con ascisse distinte. Nella base monomiale il polinomio ha
%|coefficienti incogniti e questi si determinano risolvendo un sistema di Vandermonde. Nella base di
%|Lagrange, invece, il polinomio si ottiene come combinazione delle funzioni cardinali L_(i), che
%|valgono uno nel nodo associato e zero negli altri: i coefficienti sono immediatamente i dati y_(i).
%|L’errore dipende dalla derivata (n+1)-esima della funzione e dal prodotto delle distanze dai nodi. I
%|nodi equispaziati possono produrre oscillazioni e mancata convergenza, soprattutto per gradi
%|elevati; per evitarlo si scelgono nodi più adatti oppure interpolanti a tratti. L’interpolazione
%|costituisce la base delle formule di quadratura e di derivazione numerica.
%@TOPIC 55
%|DOMANDA (riformulata): Confronta metodi diretti e iterativi e illustra un metodo diretto e le sue
%|ipotesi.
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app140423.pdf ; Domanda 2
%|RISPOSTA:
%|Origine. Domanda di teoria nell’appello del 14/04/2023.
%|1. Metodi diretti. Eliminazione di Gauss, LU, Cholesky, QR producono, in aritmetica esatta e se
%|applicabili, la soluzione in un numero finito di operazioni senza un criterio di arresto iterativo.
%|Sono caratterizzati dalla fattorizzazione/eliminazione e richiedono normalmente O(n^(3)) operazioni
%|per matrici dense quadrate.
%|2. Metodi iterativi. Partono da x_(0) e costruiscono approssimazioni x_(1),x_(2),… monitorando un
%|residuo. Gradiente e gradiente coniugato sono stati trattati per matrici simmetriche definite
%|positive; richiedono soprattutto prodotti matrice-vettore e possono sfruttare la sparsità.
%|3. Quando scegliere. Diretti: dimensioni moderate, molteplici termini noti, richiesta di elevata
%|robustezza e fattorizzazione gestibile in memoria. Iterativi: grandi sistemi sparsi, memoria
%|limitata, buona struttura spettrale, richiesta di accuratezza moderata, eventuale precondizionatore;
%|il vantaggio dipende dalle iterazioni necessarie e dal costo di ogni prodotto Ax.
%|4. Esempio diretto da illustrare. Gauss trasforma il sistema in uno triangolare tramite eliminazione
%|e poi applica sostituzione all’indietro. La pivotazione parziale riduce i problemi dovuti a pivot
%|nulli o piccoli. Alternativamente, LU con pivotazione fattorizza PA=LU e risolve due sistemi
%|triangolari; con matrice simmetrica definita positiva è disponibile Cholesky A=LL^(T).
%|5. Confronto teorico. Non esiste una regola assoluta «iterativo sempre più veloce». Con matrici
%|sparse, i diretti possono creare fill-in; gli iterativi evitano fattorizzazioni, ma un
%|condizionamento sfavorevole può rallentarli. Per i metodi del gradiente la matrice simmetrica
%|definita positiva è un’ipotesi fondamentale.
%|Risposta completa da scrivere. I metodi diretti per Ax=b, come Gauss, LU e Cholesky, cercano la
%|soluzione attraverso una sequenza finita di operazioni algebriche, spesso trasformando il sistema in
%|sistemi triangolari. I metodi iterativi, come il gradiente e il gradiente coniugato, generano
%|approssimazioni successive a partire da un punto iniziale e si fermano quando il residuo soddisfa un
%|criterio. I diretti sono spesso preferibili su matrici dense di dimensioni moderate o quando si
%|risolve ripetutamente il sistema con la stessa matrice e termini noti diversi. Gli iterativi sono
%|particolarmente interessanti per grandi matrici sparse, perché richiedono memoria contenuta e
%|sfruttano il prodotto matrice-vettore, anche se il condizionamento può influire sulla velocità di
%|convergenza. Una tecnica diretta esemplare è la fattorizzazione LU con pivotazione PA=LU, seguita
%|dalla soluzione di due sistemi triangolari.
%|
%|Si cerca una decomposizione:
%|A=LU,
%|con L triangolare inferiore (spesso con diagonale unitaria) e U superiore. È possibile senza scambi
%|di riga se i pivot che si incontrano non si annullano; una condizione sufficiente classica è che i
%|minori principali iniziali siano tutti non nulli. Con pivotazione per righe si ottiene invece:
%|PA=LU,
%|con P matrice di permutazione. Per risolvere Ax=b si procede con due sistemi triangolari:
%|Ly=Pb,  Ux=y.
%|Vantaggio: se la matrice A resta la stessa e cambiano i termini noti b, la fattorizzazione si esegue
%|una volta sola; poi ogni nuovo sistema richiede solo sostituzioni triangolari.
%|Determinante: se PA=LU, allora det(A)=det(P)∏[i;​] u_(ii), quando L ha diagonale unitaria. L’inversa
%|si può calcolare risolvendo Ax=e_(i) per tutte le colonne, ma di norma non serve formarla per
%|risolvere un singolo sistema.
%|Risposta modello — «Che cos’è la fattorizzazione LU?»
%|La fattorizzazione LU consiste nello scrivere una matrice quadrata come prodotto di una matrice
%|triangolare inferiore e una superiore. Nasce dall’eliminazione di Gauss: i moltiplicatori sono
%|memorizzati nella parte inferiore e la matrice trasformata nella parte superiore. Una volta ottenuti
%|L e U, risolvo il sistema con una sostituzione in avanti e una all’indietro. Se sono necessari
%|scambi di righe, la forma corretta è PA=LU, dove P registra le permutazioni. Il principale vantaggio
%|è l’efficienza quando si devono risolvere numerosi sistemi con la stessa matrice e termini noti
%|diversi.
%@TOPIC 56
%|DOMANDA (riformulata): Newton scalare e vettoriale: formula, convergenza e costo per iterazione.
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app190723.pdf ; Domanda 1
%|RISPOSTA:
%|Si parte da x_(0) e si sostituisce localmente f con la sua linearizzazione:
%|f(x_(k)+s)≈f(x_(k))+f′(x_(k))s.
%|Imponendo che l’approssimazione lineare sia nulla e assumendo f′(x_(k))≠0:
%|x_(k+1)=x_(k)−(f(x_(k)))/(f′(x_(k))).
%|Interpretazione geometrica: x_(k+1) è l’intersezione con l’asse orizzontale della tangente al
%|grafico nel punto (x_(k),f(x_(k))).
%|Convergenza locale. Se f è abbastanza regolare (ad esempio C^(2) in un intorno della radice), f(α)=0
%|e f′(α)≠0, allora a partire da x_(0) sufficientemente vicino il metodo converge quadraticamente:
%|e_(k+1)=(f″(α))/(2f′(α))e_(k)^(2)+o(e_(k)^(2)).
%|Se f″(α)=0, il termine dominante può avere ordine superiore. La formula richiede che f′(x_(k)) non
%|sia nullo durante l’iterazione. Un punto iniziale poco favorevole può provocare oscillazioni,
%|divergenza o convergenza a un’altra radice.
%|Radici multiple. Se f(x)=(x−α)^(m)q(x), q(α)≠0, m>1, Newton standard è tipicamente soltanto lineare,
%|con fattore asintotico (m−1)/m. Se la molteplicità è nota:
%|x_(k+1)=x_(k)−m(f(x_(k)))/(f′(x_(k)))
%|ripristina sotto adeguate ipotesi la convergenza quadratica locale. [L/I: il laboratorio analizza le
%|radici multiple e usa anche Newton modificato.]
%|Risposta modello — «Mi parli di Newton per il calcolo delle radici»
%|Newton è un metodo iterativo per risolvere f(x)=0. A partire da un punto iniziale sostituisce la
%|funzione con la tangente, cioè con lo sviluppo di Taylor al primo ordine. Ponendo uguale a zero la
%|retta si ricava l’aggiornamento x_(k+1)=x_(k)−f(x_(k))/f′(x_(k)). Per una radice semplice, con
%|funzione sufficientemente regolare e punto iniziale sufficientemente vicino, il metodo converge
%|localmente con ordine quadratico: l’errore al passo successivo è proporzionale al quadrato di quello
%|precedente. È quindi molto rapido nella fase finale. Rispetto alla bisezione non richiede di
%|racchiudere la radice in un intervallo con cambiamento di segno, ma necessita del calcolo della
%|derivata e non garantisce la convergenza globale. In presenza di una radice multipla Newton standard
%|perde generalmente l’ordine quadratico; se conosco la molteplicità posso utilizzare Newton
%|modificato.
%|
%|Si cerca x∈R^(n) tale che:
%|F(x)=[f_(1)(x); ⋮; f_(n)(x)]=0.
%|La Jacobiana contiene le derivate parziali:
%|J_(F)(x)=[(∂f_(i))/(∂x_(j))(x)]_(i,j=1)^(n).
%|Linearizziamo F(x_(k)+s)≈F(x_(k))+J_(F)(x_(k))s e imponiamo valore zero. A ogni iterazione
%|risolviamo:
%|J_(F)(x_(k))s_(k)=−F(x_(k)),  x_(k+1)=x_(k)+s_(k).
%|È equivalente a x_(k+1)=x_(k)−J_(F)(x_(k))^(−1)F(x_(k)) solo matematicamente, quando l’inversa
%|esiste. Numericamente si usa s = -J\F, senza calcolare l’inversa esplicita. Per F sufficientemente
%|regolare, Jacobiana non singolare nella soluzione e dato iniziale abbastanza vicino, la convergenza
%|è quadratica locale. Un criterio di arresto può richiedere ∥s_(k)∥ e/o ∥F(x_(k+1))∥ piccoli.
%|ATTENZIONE al segno in MATLAB: le due implementazioni coerenti sono s = J\(-F); xnew=x+s; oppure
%|z=J\F; xnew=x-z;. Fare z=J\F; xnew=x+z; non è Newton e generalmente diverge. Le formule vanno
%|verificate rispetto agli script, perché alcune presentazioni schematiche possono omettere il segno
%|nel testo estratto dai PDF.
%|Risposta modello — «Mi parli di Newton per sistemi»
%|Per risolvere un sistema non lineare si cerca il vettore che annulla contemporaneamente le
%|componenti di una funzione F:R^(n)→R^(n). Newton generalizza la formula scalare sostituendo la
%|derivata con la matrice Jacobiana. Tramite lo sviluppo di Taylor vettoriale al primo ordine ottengo
%|il sistema lineare J_(F)(x_(k))s_(k)=−F(x_(k)). Risolvo questo sistema per calcolare la correzione e
%|aggiorno x_(k+1)=x_(k)+s_(k). Non conviene formare l’inversa della Jacobiana: in MATLAB è
%|preferibile il comando \. Se la Jacobiana della soluzione è non singolare e la stima iniziale è
%|sufficientemente vicina, si ha convergenza quadratica locale. Il costo computazionale è maggiore del
%|caso scalare, perché occorre costruire la Jacobiana e risolvere un sistema lineare a ogni
%|iterazione.
%|Costo: costruire F e J dipende dal problema. Con Jacobiana densa n per n, la soluzione mediante LU
%|costa circa (2/3)*n^3 flop, piu O(n^2) per sostituzioni e O(n) per aggiornamento. La Jacobiana
%|cambia generalmente a ogni iterazione. Sparsita o struttura possono ridurre molto il costo.
%@TOPIC 57
%|DOMANDA (riformulata): Deriva e confronta Eulero avanti e indietro: convergenza, stabilita e costo.
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app190723.pdf ; Domanda 2
%|RISPOSTA:
%|Dallo sviluppo di Taylor y(t_(n+1))=y(t_(n))+hy′(t_(n))+O(h^(2)) e dalla relazione y′=f(t,y)
%|otteniamo:
%|y_(n+1)=y_(n)+hf(t_(n),y_(n)).
%|Ordine: errore locale di un passo O(h^(2)), errore globale O(h) su intervalli finiti con opportune
%|ipotesi di regolarità e stabilità; metodo di ordine 1.
%|Vantaggi: semplicissimo ed economico. Svantaggi: accuratezza limitata e vincoli restrittivi sul
%|passo per problemi rigidi (stiff). La pendenza viene valutata nel punto iniziale del passo.
%|Risposta modello — «Mi parli del metodo di Eulero esplicito»
%|Il metodo di Eulero esplicito approssima la soluzione del problema di Cauchy usando lo sviluppo di
%|Taylor al primo ordine. La derivata della soluzione viene sostituita dalla funzione del problema
%|valutata all’istante e nello stato correnti. La formula y_(n+1)=y_(n)+hf(t_(n),y_(n)) permette
%|quindi di avanzare direttamente senza risolvere equazioni non lineari. Il metodo ha ordine globale
%|uno, cioè l’errore su un intervallo finito decresce come il passo, nelle consuete ipotesi. È facile
%|da implementare, ma può richiedere passi molto piccoli sia per l’accuratezza sia per la stabilità,
%|soprattutto con dinamiche rigide.
%|
%|La pendenza viene valutata all’estremo finale del passo:
%|y_(n+1)=y_(n)+hf(t_(n+1),y_(n+1)).
%|L’incognita y_(n+1) compare da entrambe le parti, quindi a ogni passo può essere necessario
%|risolvere un’equazione o un sistema non lineare, spesso con Newton.
%|Ordine: globalmente 1 (nelle ipotesi standard); errore di un passo O(h^(2)). Punto di forza: buone
%|proprietà di stabilità, utili per problemi stiff; in particolare è A-stabile per l’equazione test
%|lineare.
%|Risposta modello — «Qual è la differenza tra Eulero esplicito e implicito?»
%|Eulero esplicito usa la pendenza nel punto noto t_(n),y_(n) e calcola subito lo stato successivo.
%|Eulero implicito usa invece la pendenza nel punto finale t_(n+1),y_(n+1) e richiede la soluzione di
%|un’equazione in cui compare il valore incognito. Entrambi sono metodi di ordine uno, ma la regione
%|di stabilità dell’implicito è molto più ampia, perciò può essere preferibile per equazioni rigide.
%|L’implicito è però più costoso per passo, perché comporta la risoluzione di un problema non lineare.
%|
%|La stabilità assoluta si studia spesso applicando il metodo all’equazione test:
%|y′=λy,  Re(λ)<0.
%|La soluzione esatta è y(t)=y_(0)e^(λ(t−t_(0))) e tende a zero. Il metodo produce una ricorrenza:
%|y_(n+1)=R(z)y_(n),  z=hλ,
%|con funzione di stabilità R(z). La regione di stabilità assoluta è S={z∈C:|R(z)|<1}, con condizioni
%|aggiuntive sui punti di bordo quando necessario.
%|Eulero esplicito:
%|R(z)=1+z,  |1+z|<1.
%|Sulla semiretta reale negativa, con λ<0: 0<h<2/|λ|.
%|Eulero implicito:
%|R(z)=(1)/(1−z),  |(1)/(1−z)|<1.
%|Crank-Nicolson:
%|R(z)=(1+z/2)/(1−z/2).
%|Heun:
%|R(z)=1+z+(z^(2))/(2).
%|Un metodo è A-stabile se l’intero semipiano Rez<0 appartiene alla regione di stabilità. Eulero
%|implicito e Crank-Nicolson sono A-stabili; Eulero esplicito e Heun non lo sono. La stabilità
%|assoluta non va confusa con la zero-stabilità.
%|Risposta modello — «Che cos’è la stabilità assoluta di un metodo per EDO?»
%|La stabilità assoluta misura la capacità di un metodo di riprodurre il decadimento di una dinamica
%|lineare stabile. Per studiarla si usa l’equazione test y′=λy con parte reale di λ negativa.
%|Applicando il metodo compare un fattore di amplificazione R(hλ): vogliamo che il suo modulo sia
%|minore di uno. Per Eulero esplicito il fattore è 1+hλ, quindi la stabilità impone restrizioni sul
%|passo; per Eulero implicito è 1/(1−hλ) e il metodo è A-stabile. Crank-Nicolson è anch’esso
%|A-stabile, mentre Heun, essendo esplicito, possiede una regione limitata. Questo concetto è
%|particolarmente rilevante nei problemi rigidi, dove un metodo esplicito può essere costretto a passi
%|molto più piccoli di quelli necessari per l’accuratezza.
%@TOPIC 58
%|DOMANDA (riformulata): Interpola nella base monomiale e di Lagrange: dove sta il lavoro e quali
%|rischi hanno nodi equispaziati?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app120724.pdf ; Domanda 1
%|RISPOSTA:
%|Dati n+1 nodi distinti x_(0),…,x_(n) e valori y_(i)=f(x_(i)), esiste un unico polinomio p_(n) di
%|grado al più n tale che p_(n)(x_(i))=y_(i). Nella forma di Lagrange:
%|p_(n)(x)=∑[i=0;n] y_(i)L_(i)(x),  L_(i)(x)=∏[j=0; j≠i;n] (x−x_(j))/(x_(i)−x_(j)).
%|Le funzioni fondamentali soddisfano L_(i)(x_(j))=δ_(ij), che garantisce l’interpolazione. L’unicità
%|deriva dal fatto che la differenza fra due polinomi di grado ≤n che si annullano in n+1 nodi
%|distinti è identicamente nulla.
%|Resto dell’interpolazione. Se f∈C^(n+1)([a,b]) e x appartiene all’intervallo che contiene i nodi,
%|esiste ξ_(x) tale che:
%|f(x)−p_(n)(x)=(f^((n+1))(ξ_(x)))/((n+1)!)∏[i=0;n] (x−x_(i)).
%|Il resto dipende sia dalle derivate di f sia dalla distribuzione dei nodi. L’interpolazione non
%|migliora necessariamente aumentando il grado su nodi equispaziati: può comparire il fenomeno di
%|Runge, con oscillazioni soprattutto agli estremi. Nodi di Chebyshev mitigano il problema [I].
%|Risposta modello — «Mi parli dell’interpolazione di Lagrange»
%|L’interpolazione polinomiale di Lagrange costruisce un polinomio di grado al più n che assume
%|esattamente i valori assegnati in n+1 nodi distinti. Il polinomio è espresso come somma dei dati
%|moltiplicati per i polinomi fondamentali L_(i), ciascuno dei quali vale uno nel proprio nodo e zero
%|negli altri. Il polinomio esiste ed è unico. L’errore è espresso tramite la derivata di ordine n+1
%|della funzione e il prodotto delle distanze dai nodi; quindi dipende dalla regolarità della funzione
%|e dalla scelta dei nodi. Con molti nodi equispaziati si possono avere forti oscillazioni, perciò in
%|pratica spesso conviene ricorrere a interpolazione composita o spline.
%|
%|La forma baricentrica è un modo più efficiente e generalmente più stabile di valutare il medesimo
%|polinomio interpolatore. Ponendo i pesi:
%|w_(i)=(1)/(∏[j≠i;​] (x_(i)−x_(j))),
%|per x diverso dai nodi:
%|p_(n)(x)=(∑[i=0;n] (w_(i)y_(i))/(x−x_(i)))/(∑[i=0;n] (w_(i))/(x−x_(i))).
%|Se x=x_(i), per definizione si pone p_(n)(x_(i))=y_(i), evitando divisioni per zero. I pesi
%|dipendono dai nodi e possono essere riutilizzati per più valutazioni.
%|Nella base di Lagrange i coefficienti sono gia i dati y_i. Il lavoro e costruire/valutare le
%|funzioni cardinali e la loro combinazione. La valutazione diretta costa O(n^2) per punto; pesi
%|baricentrici precomputati consentono O(n) per punto.
%@TOPIC 59
%|DOMANDA (riformulata): Confronta Newton e secanti, formule, arresto e ordini.
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app120724.pdf ; Domanda 2
%|RISPOSTA:
%|Origine. Due metodi messi direttamente a confronto nelle domande teoriche dell’appello del
%|12/07/2024; Newton isolato in una delle domande del 17/01/2023.
%|1. Scopo. Cercare uno zero α di f tale che f(α)=0. Si tratta di metodi aperti: non mantengono per
%|costruzione una radice racchiusa in un intervallo con cambio di segno.
%|2. Newton. Linearizzando in x_(k) e annullando la retta tangente:
%|x_(k+1)=x_(k)−(f(x_(k)))/(f′(x_(k))).
%|Serve f′(x_(k))≠0. Per radici semplici e f∈C^(2) nell’intorno, con x_(0) vicino a α, la convergenza
%|è localmente quadratica. Il punto iniziale si sceglie sfruttando grafico, informazioni sul segno,
%|derivata, monotonia e posizione delle radici. Nessuna regola semplice è garanzia globale in ogni
%|caso.
%|3. Secanti. Approssimando f′ con la differenza divisa:
%|x_(k+1)=x_(k)−f(x_(k))(x_(k)−x_(k−1))/(f(x_(k))−f(x_(k−1))).
%|Richiede due valori iniziali, non necessita di derivata, e per radici semplici ha ordine locale
%|circa 1.618; i denominatori devono restare non nulli.
%|4. Test d’arresto. Errori veri non sono disponibili perché α è ignota. È utile considerare sia
%|incremento che residuo, ad esempio |x_(k+1)−x_(k)|≤tol_(x) e |f(x_(k+1))|≤tol_(f), con opportune
%|normalizzazioni. Se invece viene richiesto un unico test, il residuo verifica direttamente la bontà
%|dell’equazione, ma può essere piccolo anche lontano dalla radice in problemi mal condizionati;
%|l’incremento può essere piccolo in caso di stagnazione. Se possibile, verificare entrambi e
%|impostare k_(max).
%|5. Radici multiple e limiti. Newton standard perde di norma la convergenza quadratica su una radice
%|di molteplicità m>1 e converge linearmente con fattore (m−1)/m. Newton modificato
%|x_(k+1)=x_(k)−mf(x_(k))/f′(x_(k)), quando m è nota, può ripristinare il comportamento quadratico. A
%|differenza della bisezione, Newton e secanti non hanno una garanzia di convergenza globale generica.
%|Risposta completa da scrivere. I metodi di Newton e delle secanti sono algoritmi iterativi per
%|approssimare gli zeri di equazioni non lineari. Newton usa la tangente al grafico di f nel punto
%|corrente e ricava l’approssimazione successiva dall’intersezione con l’asse delle ascisse, tramite
%|x_(k+1)=x_(k)−f(x_(k))/f′(x_(k)). Il metodo delle secanti sostituisce la derivata con una differenza
%|divisa calcolata su due iterate e quindi evita il calcolo di f′. Per una radice semplice, regolarità
%|sufficiente e inizializzazione vicina alla radice, Newton è quadraticamente convergente e le secanti
%|sono superlineari, di ordine circa 1.618. Entrambi possono fallire con punti iniziali sfavorevoli o
%|denominatori nulli. Poiché l’errore esatto non è noto, l’arresto pratico si basa sul residuo e/o
%|sull’incremento, insieme a un limite massimo di iterazioni; è bene ricordare che un residuo piccolo
%|non garantisce in generale errore piccolo.
%@TOPIC 60
%|DOMANDA (riformulata): Ricava punto medio e trapezi, semplici e compositi, errori e confronto.
%|Quando il punto medio e utilizzabile e i trapezi no?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app110925.pdf ; Domanda 1
%|RISPOSTA:
%|Poni H=b-a e m=(a+b)/2. Punto medio: M=H*f(m). Si integra l'approssimante costante f(m); Taylor
%|attorno a m mostra che il termine lineare si annulla per simmetria. Per f in C^2,
%|I-M=H^3*f''(xi)/24. E una formula aperta, esatta fino al grado 1.
%|Trapezi: T=H*(f(a)+f(b))/2. Si integra la retta interpolante agli estremi. I-T=-H^3*f''(xi)/12. E
%|chiusa, esatta fino al grado 1.
%|Con N intervalli, h=H/N: M_N=h*sum_{i=0}^{N-1} f(a+(i+1/2)*h); T_N=h*(f(a)/2+sum_{i=1}^{N-1}
%|f(a+i*h)+f(b)/2).
%|Posto M2=max |f''|, |I-M_N|<=H*h^2*M2/24 e |I-T_N|<=H*h^2*M2/12. Entrambe hanno ordine globale 2;
%|dimezzare h riduce asintoticamente l'errore di un fattore 4. L'errore semplice e O(H^3), il grado di
%|precisione e 1: sono nozioni diverse.
%|Per f convessa, il punto medio sottostima e i trapezi sovrastimano. A parita di suddivisione, la
%|maggiorazione del punto medio ha costante dimezzata; cio non impone un rapporto esatto tra gli
%|errori effettivi.
%|Esempio: integrale di log(x) su (0,1]. Il punto medio usa solo nodi interni, mentre il trapezio
%|standard richiederebbe log(0). L'integrale improprio esiste. Tuttavia f'' e illimitata: le stime C^2
%|e l'ordine 2 non sono garantiti in questo esempio; servono analisi specifica o trasformazione
%|dell'integrale.
%@TOPIC 61
%|DOMANDA (riformulata): Definisci il fitting ai minimi quadrati, specializzalo a una retta, deriva
%|equazioni normali e metodi di soluzione.
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app110925.pdf ; Domanda 2
%|RISPOSTA:
%|Dati m punti (x_i,y_i), si cerca p in uno spazio prefissato che minimizzi sum_i (p(x_i)-y_i)^2. Non
%|si impone il passaggio per tutti i punti.
%|Per p(x)=a0+a1*x, la matrice X ha righe [1,x_i], a=[a0;a1] e si minimizza ||X*a-y||_2^2. Annullando
%|il gradiente 2*X'*(X*a-y) si ottiene X'*X*a=X'*y, ossia:
%|[m, sum x_i; sum x_i, sum x_i^2]*[a0;a1]=[sum y_i; sum x_i*y_i].
%|X'*X e sempre simmetrica semidefinita positiva, perche v'*X'*X*v=||X*v||_2^2. E definita positiva se
%|X ha rango colonna pieno: per una retta occorrono almeno due ascisse diverse. In questo caso il
%|minimizzatore e unico.
%|Si puo usare Cholesky sulle equazioni normali, ma kappa_2(X'*X)=kappa_2(X)^2: formarle puo
%|peggiorare l'accuratezza. QR ridotta X=Q*R porta a R*a=Q'*y senza formare X'*X. SVD e adatta anche a
%|rango carente, con scelta della soluzione di norma minima. In MATLAB X\y risolve il problema
%|rettangolare; centrare/scalare le ascisse aiuta il condizionamento.
%|Il residuo r=y-X*a e ortogonale alle colonne di X: X'*r=0, ma in generale r non e nullo.
%@TOPIC 62
%|DOMANDA (riformulata): Come scegliere il metodo e confrontarne il costo?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app120724.pdf ; Esercizio 1, punti 1.2-1.3
%|RISPOSTA:
%|Per A densa n per n: LU circa 2*n^3/3 flop, Cholesky circa n^3/3, due sostituzioni circa 2*n^2.
%|Cholesky richiede simmetria e definita positivita. Per una matrice sparsa il costo dipende dal
%|fill-in, non solo da n. Un prodotto A*v costa O(nnz(A)); CG costa O(nnz(A)+n) per iterazione. Con
%|sei elementi per riga il costo dominante e lineare in n per iterazione. Per confrontare i metodi
%|moltiplicare per il numero di iterazioni necessario alla stessa accuratezza.
%@TOPIC 63
%|DOMANDA (riformulata): Quando gradiente e CG non sono applicabili e cosa offre BiCGStab?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app110925.pdf ; Esercizio 1
%|RISPOSTA:
%|Le garanzie standard di gradiente e CG richiedono A simmetrica definita positiva. Una matrice non
%|simmetrica non le soddisfa anche se invertibile. BiCGStab e un metodo di Krylov per sistemi anche
%|non simmetrici: non assicura convergenza universale, puo avere oscillazioni del residuo o breakdown.
%|Verificare residuo relativo, flag e limite di iterazioni; una curva non monotona da sola non prova
%|divergenza. Nell'appello 2025 A non e simmetrica e il minore principale di ordine 2 vale zero:
%|Cholesky e LU senza scambi non sono applicabili; LU con pivotazione e la scelta diretta per questa A
%|invertibile.
%@TOPIC 64
%|DOMANDA (riformulata): Come si estende il criterio di contrazione ai sistemi?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app020915.pdf ; Esercizio 1, punti b-c
%|RISPOSTA:
%|Per x_{k+1}=Phi(x_k), su un insieme chiuso convesso D con Phi(D) contenuto in D, una maggiorazione
%|uniforme ||J_Phi(x)||<=q<1 garantisce contrazione, unicita e convergenza da ogni dato in D. In norma
%|infinito si usa il massimo delle somme dei moduli per riga. Nel sistema del 02/09/2015, Phi=[c*(cos
%|x-sin y);c*x-c*sin y], la norma e al piu 2*|c|, quindi |c|<1/2 e sufficiente su R^2. Per c=1 il
%|fallimento della condizione sufficiente non prova da solo divergenza.
%@TOPIC 65
%|DOMANDA (riformulata): Come funziona e quando conviene rispetto al composito?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app020915.pdf ; Esercizio 2
%|RISPOSTA:
%|Confrontare S su un pannello e S2 ottenuto dai due mezzi pannelli. In regime asintotico regolare
%|l'errore di S2 si stima con |S2-S|/15. Se la stima supera la tolleranza locale si divide ancora,
%|ripartendo la tolleranza fra i figli. Una correzione e S2+(S2-S)/15. L'adattivita concentra
%|valutazioni dove la funzione varia maggiormente; non e sempre piu efficiente. Il confronto va fatto
%|a pari errore effettivo contando valutazioni di f, non soltanto intervalli. Oscillazioni non
%|risolte, singolarita e passo minimo possono rendere inaffidabile la stima.
%@TOPIC 66
%|DOMANDA (riformulata): Uno schema stabile puo non convergere al problema assegnato?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app300315.pdf ; Esercizio 3
%|RISPOSTA:
%|Si: u_{n+1}=u_n+(h/2)*f(t_n,u_n), sulla griglia t_n=t0+n*h, e inconsistente con y'=f. Il quoziente
%|incrementale tende a f/2. Per y'=-3*y converge a exp(-3*t/2), invece di exp(-3*t). Ha fattore
%|R=1-3*h/2 ed e assolutamente stabile per 0<h<4/3. La stabilita assoluta non corregge la mancanza di
%|consistenza. Per convergenza occorrono consistenza e appropriata stabilita.
%@TOPIC 67
%|DOMANDA (riformulata): Come stimare ordine e costante da risultati numerici?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app020212.pdf ; Esercizi 1.2 e 3
%|RISPOSTA:
%|Se E(h)=C*h^p in regime asintotico, p circa log(E(h)/E(h/2))/log(2), C circa E(h)/h^p. In loglog la
%|pendenza e p. Per E(N)=C*N^(-p) la pendenza rispetto a N e -p. Se la soluzione esatta non e nota
%|usare differenze fra griglie annidate, sugli stessi punti: ||u_h-u_{h/2}||/||u_{h/2}-u_{h/4}|| circa
%|2^p. Per una successione iterativa e_{k+1} circa C*e_k^p si usa invece il rapporto dei logaritmi di
%|errori consecutivi. Pochi punti o errori vicini alla precisione macchina non permettono conclusioni
%|affidabili.
%@TOPIC 68
%|DOMANDA (riformulata): Perche ridurre il passo puo smettere di migliorare il risultato?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/tema2-0001.pdf ; Punto 1
%|RISPOSTA:
%|L'errore osservato somma discretizzazione, arrotondamento e propagazione. Quando C*h^p diventa
%|confrontabile con gli altri contributi, la retta loglog si appiattisce o si deteriora. Aumentano
%|anche i passi e le operazioni. Non si deve stimare p in questo tratto. Il difetto e particolarmente
%|visibile con metodi di ordine alto e h molto piccolo.
%@TOPIC 69
%|DOMANDA (riformulata): Come ottenere una restrizione sul passo da una regione di stabilita?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app030214.pdf ; Esercizio 3
%|RISPOSTA:
%|Per y'=A*y+g(t), si studia l'omogeneo e si calcolano lambda_j di A. Per ogni modo si richiede
%||R(h*lambda_j)|<1 quando Re(lambda_j)<0. Eulero esplicito ha R(z)=1+z, quindi
%|h<-2*Re(lambda)/|lambda|^2 per ciascun autovalore con parte reale negativa; prendere il minimo. Per
%|RK3 classico R=1+z+z^2/2+z^3/6; per RK4 aggiungere z^4/24. Tracciare il raggio h*lambda e trovarne
%|l'uscita dalla regione. Per matrici non normali controllare anche possibili amplificazioni
%|transitorie. Un termine forzante non cambia R; la stabilita non garantisce accuratezza.
%@TOPIC 70
%|DOMANDA (riformulata): Perche Eulero esplicito trasforma un moto circolare in una spirale?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/test2-0405.pdf ; Punti 1.b-1.c e 2.b
%|RISPOSTA:
%|Per un modo puramente oscillatorio lambda=i*omega, |1+i*h*omega|=sqrt(1+h^2*omega^2)>1 per ogni h>0:
%|EE introduce crescita artificiale dell'ampiezza. Un metodo con |R(i*h*omega)|<1 introduce invece
%|smorzamento numerico. Per confrontare schemi su tempi lunghi controllare ampiezza, fase e
%|raffinamento del passo; l'ordine da solo non basta.
%@TOPIC 71
%|DOMANDA (riformulata): Come riconoscere lo schema con coefficienti 23,-16,5?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app270117.pdf ; Esercizio 3; anche preappello
%|29/06/2007
%|RISPOSTA:
%|u_{n+1}=u_n+h*(23*f_n-16*f_{n-1}+5*f_{n-2})/12 e Adams-Bashforth a tre passi, esplicito e di ordine
%|3. Richiede u0,u1,u2, inizializzati con accuratezza adeguata, per esempio con RK. Non e un RK a tre
%|stadi: usa tempi precedenti. Sull'equazione test il polinomio caratteristico e
%|xi^3-xi^2-z*(23*xi^2-16*xi+5)/12; la stabilita richiede il controllo di tutte le radici. Sull'asse
%|reale negativo l'intervallo e -6/11<z<0. Con lambda=-4 si ha 0<h<3/22 circa 0.13636.
%@TOPIC 72
%|DOMANDA (riformulata): Tre stadi equivalgono a tre passi?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app180121.pdf ; Esercizio 3.1
%|RISPOSTA:
%|No. Il metodo dell'appello 18/01/2021 usa K1,K2,K3 nello stesso intervallo temporale: e un
%|Runge-Kutta esplicito a tre stadi e un solo passo, ordine 3. Il passo e l'avanzamento da t_n a
%|t_{n+1}; gli stadi sono valutazioni intermedie. Un multistep riutilizza invece soluzioni o derivate
%|di passi precedenti.
%@TOPIC 73
%|DOMANDA (riformulata): Come calcolare a priori il numero di dimezzamenti?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app140709.pdf ; Esercizio 2.b; app130115 Esercizio
%|2.b
%|RISPOSTA:
%|Dopo k dimezzamenti l'intervallo ha lunghezza L/2^k. Il suo punto medio ha errore al piu L/2^(k+1).
%|Richiedere L/2^(k+1)<=tol, quindi k>=ceil(log2(L/(2*tol))), con k>=0. Se si conta come prima
%|iterazione il punto medio dell'intervallo iniziale, l'indice cambia di uno. Con L=1 e tol=1e-8
%|servono 26 dimezzamenti prima di prendere il nuovo punto medio. Continuita e cambio di segno sono
%|essenziali; una radice pari non e in generale isolabile con questo criterio.
%@TOPIC 74
%|DOMANDA (riformulata): Come ottimizzare Eulero implicito lineare e A^3*x=b?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app140709.pdf ; Esercizio 1; app130115 Esercizio 1
%|RISPOSTA:
%|Per y'=A*y e h fisso: (I-h*A)*u_{n+1}=u_n. Fattorizzare I-h*A una sola volta e riusare i fattori; a
%|ogni passo restano due sostituzioni. Se h cambia la matrice cambia. Per A^3*x=b risolvere A*z1=b,
%|A*z2=z1, A*x=z2 usando una sola fattorizzazione di A evita due prodotti di matrici dense e la
%|formazione di A^3. Cholesky si usa solo quando la matrice da fattorizzare e simmetrica definita
%|positiva.
%@TOPIC 75
%|DOMANDA (riformulata): L errore sui coefficienti coincide con l errore di interpolazione?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app160414.pdf ; Esercizio 1; app100117 Esercizio 2
%|RISPOSTA:
%|No: f-p e l'errore di approssimazione esatta, mentre coefficienti perturbati producono un ulteriore
%|p-p_hat. Per p=sum a_j*x^j, |p-p_hat|<=sum |delta a_j|*|x|^j. Il condizionamento della Vandermonde
%|controlla la sensibilita dei coefficienti; nodi e regolarita controllano l'errore teorico di
%|interpolazione. Il triangolo da ||f-p_hat||<=||f-p||+||p-p_hat||. La forma baricentrica evita la
%|soluzione di Vandermonde ma non elimina il fenomeno di Runge.
%@TOPIC 76
%|DOMANDA (riformulata): Quando non e garantito l ordine due dell interpolazione lineare?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app190723.pdf ; Esercizio 2; app040918 Esercizio 2
%|RISPOSTA:
%|La stima ||f-p||_inf<=H^2*max|f''|/8 richiede f in C^2 con derivata seconda limitata. Per
%|sqrt(1-x^2) su [-1,1] le derivate sono singolari agli estremi: la maggiorazione non si applica, pur
%|essendo possibile convergenza con ordine ridotto. Su [-0.8,0.8] la regolarita e sufficiente. Con N
%|nodi equispaziati H=(b-a)/(N-1), dunque N>=1+ceil((b-a)*sqrt(M2/(8*tol))). Il massimo su una griglia
%|di verifica e solo una stima dal basso del sup continuo.
%@TOPIC 77
%|DOMANDA (riformulata): Newton converge sempre alla radice piu vicina? E se la Jacobiana e singolare?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app130115.pdf ; Esercizio 2.d; app100117 Esercizio 1;
%|app300315 Esercizio 2
%|RISPOSTA:
%|No: il bacino di attrazione non coincide con i punti piu vicini geometricamente alla radice. La
%|tangente puo attraversare altre regioni, uscire dal dominio o produrre passi enormi. Per sistemi,
%|una Jacobiana singolare impedisce la correzione standard univoca; se la Jacobiana nella soluzione e
%|singolare non vale il teorema quadratico usuale. Convergenza lenta non prova da sola molteplicita:
%|verificare derivate o rango e raggiungimento del regime asintotico.
%@TOPIC 78
%|DOMANDA (riformulata): Quali stime spiegano la differenza tra gradiente e CG?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app270117.pdf ; Esercizio 2; app040918 Esercizio 1
%|RISPOSTA:
%|Per A SPD e kappa=lambda_max/lambda_min, in norma energia ||e||_A=sqrt(e'*A*e), il gradiente
%|soddisfa ||e_k||_A<=((kappa-1)/(kappa+1))^k*||e_0||_A. CG soddisfa
%|||e_k||_A<=2*((sqrt(kappa)-1)/(sqrt(kappa)+1))^k*||e_0||_A. Sono maggiorazioni, non uguaglianze:
%|anche raggruppamento degli autovalori conta. CG termina in al piu n passi in aritmetica esatta;
%|arrotondamento puo richiederne di piu. Il residuo euclideo non deve diminuire monotonamente a ogni
%|passo.
%@TOPIC 79
%|DOMANDA (riformulata): Come distinguere accuratezza, stabilita e confronto di costo?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app110925.pdf ; Esercizio 2.2; app140423 Esercizio 2
%|RISPOSTA:
%|Un metodo di ordine p ha errore globale C*h^p sotto regolarita e stabilita. Per una tolleranza eps
%|scegliere h<=(eps/C)^(1/p), ma anche soddisfare la restrizione di stabilita. C non e automaticamente
%|1. Con RK3, C circa 10 e h=0.01 si stima 1e-5. EE costa una valutazione di f per passo, RK4 quattro;
%|impliciti richiedono una soluzione algebrica, spesso iterativa. A pari h un ordine superiore non
%|garantisce universalmente errore minore fuori dal regime asintotico.
%@TOPIC 80
%|DOMANDA (riformulata): Come passare da una EDO di ordine superiore a un sistema?
%|FONTE: https://paola-gervasio.unibs.it/CS/temi/app110925.pdf ; Esercizio 2.1
%|RISPOSTA:
%|Per y''=g(t,y,y'), porre u1=y e u2=y': u1'=u2, u2'=g(t,u1,u2). I dati diventano [y(t0);y'(t0)]. Per
%|ordine m usare [y,y',...,y^(m-1)]. Nell'appello 2025 A=[0,1;-9,-5], g(t)=[0;exp(-2*t)] e
%|u0=[0;sqrt(11)/2]. Gli autovalori (-5 +/- i*sqrt(11))/2 servono all'analisi della stabilita
%|numerica.

%@TOPIC 81
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Come si scelgono i nodi e perche sono utili?
%|RISPOSTA:
%|Con n+1 nodi si usano gli zeri di T_{n+1}: t_i=cos((2*i+1)*pi/(2*(n+1))), i=0,...,n. In [a,b]:
%|x_i=(a+b)/2+(b-a)*t_i/2. Sono piu fitti agli estremi. Fra i polinomi monici di grado n+1 su [-1,1],
%|2^(-n)*T_{n+1} minimizza la norma infinito; per questi nodi il prodotto omega(x)=prod_i(x-x_i) ha
%|norma 2^(-n). Il resto e f^(n+1)(xi)*omega(x)/(n+1)!, quando f e sufficientemente regolare. Questa
%|proprieta minimax riguarda omega, non una garanzia universale di convergenza per ogni funzione
%|continua. I nodi Chebyshev-Lobatto t_i=cos(i*pi/n) includono gli estremi e sono una famiglia
%|diversa. Per funzioni analitiche i nodi di Chebyshev consentono tipicamente convergenza molto
%|rapida.

%@TOPIC 82
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Come si dimostrano esistenza e unicita dell interpolatore?
%|RISPOSTA:
%|Per n+1 ascisse distinte, L_i(x)=prod_{j!=i}(x-x_j)/(x_i-x_j) soddisfa L_i(x_j)=delta_ij. Quindi
%|p=sum_i y_i*L_i interpola i dati e ha grado al piu n: esistenza. Se p e q interpolano gli stessi
%|dati, p-q ha n+1 zeri distinti ma grado al piu n, dunque e il polinomio nullo: unicita. Nella base
%|monomiale V_ij=x_i^j, i,j=0,...,n; det(V)=prod_{i<j}(x_j-x_i) non nullo. Unicita algebrica non
%|implica buon condizionamento numerico.

%@TOPIC 83
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Quali condizioni determinano una spline cubica?
%|RISPOSTA:
%|Con N intervalli ci sono 4*N coefficienti. Imporre i due valori estremi su ciascun pezzo fornisce
%|2*N condizioni, e la continuita di derivata prima e seconda nei nodi interni altre 2*(N-1). Mancano
%|due condizioni al bordo. Spline naturale: s''(a)=s''(b)=0; vincolata: si assegnano s'(a),s'(b);
%|not-a-knot: continuita della derivata terza al primo e all'ultimo nodo interno, quando applicabile.
%|La spline e C^2 e cubica a tratti. L'ordine globale e le costanti dipendono da regolarita, griglia e
%|condizioni al bordo: non applicare automaticamente una stima O(h^4) a qualsiasi spline naturale con
%|dati di bordo incompatibili.

%@TOPIC 84
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Ricava differenze finite e spiega il passo ottimale.
%|RISPOSTA:
%|Taylor: f(x+h)=f(x)+h*f'(x)+h^2*f''(x)/2+O(h^3). Quindi D+=[f(x+h)-f(x)]/h=f'(x)+O(h). Analogamente
%|D-=[f(x)-f(x-h)]/h ha ordine 1. Sottraendo Taylor in x+h e x-h:
%|D0=[f(x+h)-f(x-h)]/(2*h)=f'(x)+O(h^2). Sommando: D2=[f(x+h)-2*f(x)+f(x-h)]/h^2=f''(x)+O(h^2), con
%|regolarita sufficiente. Per la derivata prima l'errore totale si modella C1*h^p+C2*u/h. Il minimo ha
%|h proporzionale a u^(1/(p+1)): sqrt(u) in avanti, u^(1/3) al centro, a meno delle scale. Per la
%|derivata seconda centrata, arrotondamento O(u/h^2) e troncamento O(h^2) danno h proporzionale a
%|u^(1/4). Valori piu piccoli non sono sempre migliori.

%@TOPIC 85
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Come si costruisce una quadratura interpolatoria e cosa significa grado di precisione?
%|RISPOSTA:
%|Interpolare f nei nodi x_i con p=sum_i f(x_i)*L_i(x), poi integrare: Q(f)=sum_i w_i*f(x_i),
%|w_i=integral_a^b L_i(x) dx. Il grado di precisione e il massimo d per cui Q(x^k)=integral_a^b x^k dx
%|per k=0,...,d. Verificare che fallisca al grado d+1. Una formula chiusa usa entrambi gli estremi,
%|una aperta solo nodi interni. Il grado non coincide con l'ordine globale della formula composita.
%|Per una formula semplice con errore O(h^(p+1)), la somma su O(1/h) pannelli produce tipicamente
%|O(h^p).

%@TOPIC 86
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Perche Simpson ha grado tre ed errore globale di ordine quattro?
%|RISPOSTA:
%|Interpolare nei punti a,m=(a+b)/2,b con un quadratico; integrando le basi si ottiene
%|S=(b-a)*(f(a)+4*f(m)+f(b))/6. La simmetria annulla anche il contributo cubico, quindi il grado di
%|precisione e 3. Per f in C^4: I-S=-(b-a)^5*f^(4)(xi)/2880. Con N pari, h=(b-a)/N,
%|S_N=h/3*(f(x0)+f(xN)+4*sum_{i dispari}f(xi)+2*sum_{i pari,2<=i<=N-2}f(xi)). La maggiorazione e
%|(b-a)*h^4*M4/180. N deve essere pari per accoppiare i sottointervalli. Se M4 noto, scegliere N
%|almeno (b-a)*((b-a)*M4/(180*tol))^(1/4), arrotondando al successivo intero pari.

%@TOPIC 87
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Definisci stabilita assoluta, A-stabilita e L-stabilita.
%|RISPOSTA:
%|Si applica il metodo a y'=lambda*y con Re(lambda)<0, la cui soluzione decade. Per un metodo a un
%|passo u_{n+1}=R(z)*u_n, z=h*lambda. La regione di assoluta stabilita asintotica e {z:|R(z)|<1}. Sul
%|bordo |R|=1 non si ha decadimento: distinguere limitatezza da smorzamento asintotico. A-stabilita:
%|tutto il semipiano Re(z)<0 e incluso. L-stabilita: A-stabilita e R(z)->0 per z reale negativo
%|tendente a -infinito (o lungo direzioni pertinenti nel semipiano sinistro). Eulero implicito e
%|L-stabile; Crank-Nicolson e A-stabile ma non L-stabile perche R(z)->-1. Un RK esplicito ha R
%|polinomiale non costante e non puo essere A-stabile. L-stabilita e un approfondimento utile, non una
%|domanda attestata negli appelli letti.

%@TOPIC 88
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Quali sono R(z) e le restrizioni dei metodi principali?
%|RISPOSTA:
%|EE: R=1+z; per lambda reale negativo 0<h<2/abs(lambda). EI: R=1/(1-z), A- e L-stabile.
%|Crank-Nicolson: R=(1+z/2)/(1-z/2), A-stabile; i modi molto rigidi possono alternare segno con lento
%|smorzamento. Heun: R=1+z+z^2/2, intervallo reale stabile -2<z<0. RK3 classico: R=1+z+z^2/2+z^3/6.
%|RK4 classico: aggiungere z^4/24. Per sistemi richiedere h*lambda_j nella regione per tutti i modi
%|stabili; non confondere una restrizione di stabilita con la scelta di h per l'accuratezza.

%@TOPIC 89
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Che differenza c e fra consistenza, zero-stabilita e convergenza?
%|RISPOSTA:
%|Il difetto di passo e quanto la soluzione esatta non soddisfa lo schema. Per un metodo di ordine p e
%|O(h^(p+1)); il difetto diviso per h e O(h^p). Consistenza significa che il difetto normalizzato
%|tende a zero. Zero-stabilita significa controllo uniforme della propagazione di piccole
%|perturbazioni su un intervallo temporale fissato quando h->0. Convergenza significa max_n
%|||y(t_n)-u_n||->0. Per metodi a un passo con f Lipschitz e adeguate ipotesi, consistenza e stabilita
%|danno convergenza. Per multistep lineari vale l'equivalenza di Dahlquist: consistenza +
%|zero-stabilita equivale a convergenza. La stabilita assoluta studia invece il comportamento al
%|crescere del numero di passi con h fissato sull'equazione test.

%@TOPIC 90
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Come verificare consistenza e zero-stabilita di un multistep lineare?
%|RISPOSTA:
%|Scrivere sum_{j=0}^k alpha_j*u_{n+j}=h*sum_{j=0}^k beta_j*f_{n+j}; rho(xi)=sum alpha_j*xi^j e
%|sigma(xi)=sum beta_j*xi^j. Consistenza: rho(1)=0 e rho'(1)=sigma(1). Zero-stabilita: tutte le radici
%|di rho hanno modulo <=1 e quelle di modulo 1 sono semplici. Stabilita assoluta: per z=h*lambda
%|esaminare le radici di rho(xi)-z*sigma(xi), richiedendole interne al cerchio unitario per
%|decadimento. E esplicito se beta_k=0, altrimenti implicito. Occorrono k dati iniziali accurati.
%|Questi criteri sono un approfondimento generale dei cenni ai multistep.

%@TOPIC 91
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Perche due metodi di ordine due hanno stabilita e costo diversi?
%|RISPOSTA:
%|Heun: k1=f(t_n,u_n); pred=u_n+h*k1; k2=f(t_n+h,pred); u_{n+1}=u_n+h*(k1+k2)/2. Due valutazioni
%|esplicite per passo. Crank-Nicolson: u_{n+1}=u_n+h/2*(f(t_n,u_n)+f(t_n+h,u_{n+1})); bisogna
%|risolvere un'equazione o sistema algebrico. Entrambi hanno errore globale O(h^2), ma Heun ha regione
%|di stabilita limitata e CN e A-stabile. Una sola correzione con il predittore EE produce Heun, non
%|la soluzione esatta dell'equazione implicita di CN.

%@TOPIC 92
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Come si aggiorna il passo in base a una stima di errore?
%|RISPOSTA:
%|Con due approssimazioni di diversa accuratezza, o step doubling, stimare l'errore locale err e
%|confrontarlo con atol+rtol*scala. Per un difetto locale O(h^(p+1)),
%|h_new=safety*h*(tol/err)^(1/(p+1)); limitare i fattori di crescita e riduzione. Se err supera tol,
%|scartare il passo e riprovare. Negli schemi embedded l'esponente dipende dall'ordine dello stimatore
%|effettivamente usato. Il controllo locale non garantisce da solo una tolleranza globale esatta.
%|Sugli stiff un esplicito puo richiedere passi minuscoli per stabilita anche se la soluzione varia
%|lentamente.

%@TOPIC 93
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Come si ottiene QR e perche e preferibile alle equazioni normali?
%|RISPOSTA:
%|Per A m per n di rango n, m>=n, QR ridotta ha Q m per n con Q'*Q=I e R n per n triangolare
%|superiore. Householder applica riflessioni ortogonali; Givens rotazioni che annullano elementi;
%|Gram-Schmidt classico puo perdere ortogonalita in aritmetica finita. L'ortogonalita preserva la
%|norma 2. La soluzione LS si ottiene da R*x=Q'*b. La componente del dato ortogonale allo spazio delle
%|colonne di Q resta nel residuo. Non si forma A'*A, evitando il quadrato del condizionamento. Per
%|matrice quadrata non singolare, la stessa fattorizzazione risolve Ax=b.

%@TOPIC 94
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Come verificare che una matrice e simmetrica definita positiva?
%|RISPOSTA:
%|Prima verificare A=A'. Per una matrice reale simmetrica sono equivalenti: x'*A*x>0 per ogni x non
%|nullo; tutti gli autovalori positivi; tutti i minori principali di testa positivi (Sylvester);
%|esistenza di Cholesky con diagonale positiva. Diagonale positiva da sola non basta. In MATLAB
%|[R,p]=chol(A) ha p=0 in caso di successo, ma controllare separatamente simmetria e tolleranze
%|numeriche: chol puo usare un solo triangolo. Per A=G'*G si ha semidefinita positivita; e definita
%|positiva soltanto se G ha rango colonna pieno.

%@TOPIC 95
%|INTEGRAZIONE SUL PROGRAMMA CONFERMATO
%|DOMANDA: Quali stime collegano dati, residuo ed errore nei sistemi?
%|RISPOSTA:
%|Per A invertibile, kappa(A)=||A||*||A^(-1)||. Se r=b-A*x_hat ed e=x-x_hat, A*e=r; dunque
%|||e||/||x||<=kappa(A)*||r||/||b||, con b non nullo. Se cambia solo b: errore relativo sulla
%|soluzione <=kappa(A)*||delta b||/||b||. Se cambiano A e b, ponendo epsA=||delta A||/||A|| ed
%|epsb=||delta b||/||b||, se kappa(A)*epsA<1: ||delta
%|x||/||x||<=kappa(A)*(epsA+epsb)/(1-kappa(A)*epsA). La formula senza denominatore e
%|un'approssimazione al primo ordine. Non trasformare automaticamente eps macchina in una stima
%|rigorosa del backward error di qualsiasi algoritmo: contano crescita, dimensione e stabilita.